ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 11 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Используя графики (см. рис. 3.22, а), решите уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$.

1) Графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x}$ пересекаются в двух точках:
(−1; −1) и (1; 1);

2) Значит решениями уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$ являются числа:
$x = -1$ и $x = 1$;

Ответ: −1; 1.

Графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x}$ пересекаются в двух точках. Для нахождения точек пересечения необходимо приравнять обе функции:

$$x^3 = \frac{1}{x}$$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$x^4 = 1$$

Решим полученное уравнение:

$$x^4 — 1 = 0$$

Это уравнение можно разложить на множители:

$$(x^2 — 1)(x^2 + 1) = 0$$

Теперь решим два полученных уравнения:

$$x^2 — 1 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 1 = 0$$

Решим первое уравнение $x^2 — 1 = 0$:

$$x^2 = 1$$

Отсюда получаем два корня:

$$x = \pm 1$$

Решим второе уравнение $x^2 + 1 = 0$:

$$x^2 = -1$$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные решения уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$ — это $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $-1; 1$.