ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 3 Номер 10 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите задачу:

а) Прямоугольный участок земли площадью $60 \, \text{м}^2$ обнесён изгородью, длина которой $32 \, \text{м}$. Найдите стороны участка.

б) Диагональ прямоугольника равна $20 \, \text{см}$, а одна сторона на $4 \, \text{см}$ больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

а) Пусть одна сторона участка равна $x$ м, а другая — $y$ м;

1) Площадь участка равна 60 м², значит: $xy = 60$;

2) Периметр участка равен 32 м, значит: $x + y = 16$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} xy = 60 \\ x + y = 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy — 60 = 0 \\ y = 16 — x \end{cases};$$

$x(16 — x) — 60 = 0$;
$16x — x^2 — 60 = 0 \quad | \cdot (-1)$;
$x^2 — 16x + 60 = 0$;
$D = 16^2 — 4 \cdot 60 = 256 — 240 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{16 + 4}{2} = 6$ и $x_2 = \frac{16 + 4}{2} = 10$;
$y_1 = 16 — 6 = 10$ и $y_2 = 16 — 10 = 6$;

Ответ: 6 метров и 10 метров.

б) Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая — $y$ см;

1) Длина диагонали равна 20 см, значит: $x^2 + y^2 = 400$;

2) Одна сторона на 4 см больше другой, значит: $x — y = 4$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 400 \\ x — y = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 400 = 0 \\ y = x — 4 \end{cases};$$

$x^2 + (x — 4)^2 — 400 = 0$;
$x^2 + x^2 — 8x + 16 — 400 = 0$;
$2x^2 — 8x — 384 = 0 \quad | : 2$;
$x^2 — 4x — 192 = 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 = 28^2$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 28}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{4 + 28}{2} = 16$;
4) Длина стороны не может быть отрицательной:
$x \neq -12$, значит $x = 16$ (см), тогда $y = 16 — 4 = 12$ (см);

Ответ: 16 см и 12 см.

а) Пусть одна сторона участка равна $x$ м, а другая — $y$ м;

Площадь участка равна 60 м², то есть $xy = 60$.
Это выражение связано с тем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Мы сразу получаем одно уравнение для $x$ и $y$.

Периметр участка равен 32 м, то есть $x + y = 16$.
Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, и мы получаем второе уравнение для $x$ и $y$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} xy = 60 \\ x + y = 16 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = 16 — x.$$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$$x(16 — x) = 60.$$

Раскроем скобки:

$$16x — x^2 = 60.$$

Переносим все на одну сторону:

$$-x^2 + 16x — 60 = 0.$$

Умножим на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:

$$x^2 — 16x + 60 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 — 240 = 16.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их с помощью формулы:

$$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 4}{2}.$$

Тогда получаем два корня:

$$x_1 = \frac{16 — 4}{2} = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10.$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Для этого подставим $x_1 = 6$ и $x_2 = 10$ в уравнение $y = 16 — x$:

Для $x_1 = 6$:

$$y_1 = 16 — 6 = 10.$$

Для $x_2 = 10$:

$$y_2 = 16 — 10 = 6.$$

Ответ: $x_1 = 6, y_1 = 10$ и $x_2 = 10, y_2 = 6$.

б) Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая — $y$ см;

Длина диагонали равна 20 см, то есть $x^2 + y^2 = 400$.
Диагональ прямоугольника образует с его сторонами прямой угол, и мы используем теорему Пифагора для нахождения диагонали.

Одна сторона на 4 см больше другой, то есть $x — y = 4$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 400 \\ x — y = 4 \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = x — 4.$$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + (x — 4)^2 = 400.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x^2 — 8x + 16 = 400.$$

Приведем подобные:

$$2x^2 — 8x + 16 = 400.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 — 8x — 384 = 0.$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 4x — 192 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их с помощью формулы:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 28}{2}.$$

Тогда получаем два корня:

$$x_1 = \frac{4 — 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16.$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, оставляем $x = 16$.
Подставим это значение в уравнение $y = x — 4$:

$$y = 16 — 4 = 12.$$

Ответ: $x = 16$, $y = 12$.