ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 2 Номер 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:
а) $y=x^2-4x-5$;
б) $y=-\frac{1}{3}{x}^2+2x$.

В каждом случае укажите:

1) нули функции;

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) $y=x^2-4x-5$:

$\mathrm{1)\; a}>0$, значит ветви параболы направлены вверх;

2) Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{-4}{2}=2$,
$y=2^2-4\cdot 2-5=4-8-5=-9$;

3) Уравнение оси симметрии: $x=2$;

4) Координаты некоторых точек:
$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -1& 0& 1& 3& 4& 5\\ y& 0& -5& -8& -8& -5& 0\end{array}}$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & -5 & -8 & -8 & -5 & 0 \\ \hline \end{array}$

Нули функции: $x=-1$ и $x=5$;
Принимает положительные значения при $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (5;+\mathrm{\infty })$;
Принимает отрицательные значения при $-1<x<5$;

б) $y=-\frac{1}{3}{x}^2+2x$:

$\mathrm{1)\; a}<0$, значит ветви параболы направлены вниз;

2) Координаты вершины параболы:
$x=-\frac{2}{2\cdot (-\frac{1}{3})}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$,
$y=-\frac{1}{3}\cdot 3^2+2\cdot 3=-\frac{9}{3}+6=-3+6=3$;

3) Уравнение оси симметрии: $x=3$;

4) Координаты некоторых точек:
$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -3& 0& 6& 9\\ y& -9& 0& 0& -9\end{array}}$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & 0 & 6 & 9 \\ \hline y & -9 & 0 & 0 & -9 \\ \hline \end{array}$

Нули функции: $x=0$ и $x=6$;
Принимает положительные значения при $0<x<6$;
Принимает отрицательные значения при $x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (6;+\mathrm{\infty })$.

а) $y = x^2 — 4x — 5$

Функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.

Так как $a = 1 > 0$, графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в вершине, и значения $y$ растут по обе стороны от неё.

Найдём координаты вершины. Формула для абсциссы вершины параболы:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Подставим найденное значение в уравнение функции, чтобы вычислить ординату вершины:
$y = (2)^2 — 4 \cdot 2 — 5 = 4 — 8 — 5 = -9$

Координаты вершины: $(2;\ -9)$

Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через вершину:
$x = 2$

Координаты характерных точек (вычисляем значения функции для нескольких $x$):

Парабола симметрична: $y(-1) = y(5) = 0$, $y(0) = y(4) = -5$, $y(1) = y(3) = -8$

— Нули функции находятся там, где $y = 0$. Из таблицы видно, что это точки:
$x = -1$ и $x = 5$

— Функция принимает положительные значения на участках, где график лежит выше оси $x$, то есть:
$x \in (-\infty;\ -1) \cup (5;\ +\infty)$

— Функция принимает отрицательные значения между корнями:
$x \in (-1;\ 5)$

б) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$

Это также квадратичная функция, но с отрицательным коэффициентом при $x^2$, что указывает на параболу, направленную вниз.

$a = -\frac{1}{3} < 0$, значит, парабола открыта вниз, вершина — точка максимума. Значения функции уменьшаются по обе стороны от вершины.

Найдём абсциссу вершины:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$

Подставим $x = 3$ в функцию:

$y = -\frac{1}{3} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 = -\frac{9}{3} + 6 = -3 + 6 = 3$

Координаты вершины: $(3;\ 3)$

Ось симметрии: $x = 3$

Найдём значения функции в некоторых точках:

— Нули функции:
Из таблицы видно, что $y = 0$ при $x = 0$ и $x = 6$

— Функция принимает положительные значения между нулями:
$x \in (0;\ 6)$

— Функция принимает отрицательные значения при:
$x \in (-\infty;\ 0) \cup (6;\ +\infty)$