ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 2 Номер 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = x^2 — 4$;
б) $y = 1 — x^2$.

В каждом случае укажите:

1) наибольшее (наименьшее) значение функции;

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) $y = x^2 — 4$:

• $a > 0$, значит ветви параболы направлены вверх;
• Вершина параболы находится в точке $(0;\ -4)$;
• Уравнение оси симметрии: $x = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}$

Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = -4$;
Функция возрастает при $x > 0$;
Функция убывает при $x < 0$;

б) $y = 1 — x^2$:

• $a < 0$, значит ветви параболы направлены вниз;
• Вершина параболы находится в точке $(0;\ 1)$;
• Уравнение оси симметрии: $x = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -8 & -3 & 0 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}$

Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 1$;
Функция возрастает при $x < 0$;
Функция убывает при $x > 0$.

а) $y = x^2 — 4$

Функция имеет стандартный вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 0$, $c = -4$.

— Так как $a = 1 > 0$, графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Это означает, что функция достигает наименьшего значения в точке вершины, а затем возрастает в обе стороны от неё.

— Вершина параболы находится в точке, определяемой формулой $x = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $b = 0$, поэтому:

$x = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$

Подставим $x = 0$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = (0)^2 — 4 = -4$

Значит, вершина параболы — точка $(0;\ -4)$

— Ось симметрии проходит через вершину, её уравнение: $x = 0$

— Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}$$

Каждая пара точек симметрична относительно оси $x = 0$ и имеет одинаковые значения $y$. Например, $x = -2$ и $x = 2$ дают $y = 0$, а $x = -1$ и $x = 1$ дают $y = -3$.

— Наименьшее значение функции — это значение $y$ в вершине:

$y_{\text{min}} = -4$, достигается при $x = 0$

— Функция убывает на промежутке $x < 0$, потому что при уменьшении $x$ к нулю значения $y$ становятся всё меньше.

— Функция возрастает на промежутке $x > 0$, так как при увеличении $x$ от нуля значения $y$ также увеличиваются.

График представляет собой симметричную параболу с вершиной в нижней точке $(0;\ -4)$ и ветвями, уходящими вверх.

б) $y = 1 — x^2$

Функция имеет вид $y = -x^2 + 1$, то есть $a = -1$, $b = 0$, $c = 1$

— Так как $a = -1 < 0$, парабола направлена вниз, то есть функция имеет наибольшее значение в вершине, а по мере удаления от неё значения убывают.

— Вершина параболы снова находится при:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{-2} = 0$

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = 1 — (0)^2 = 1$

Таким образом, вершина параболы: $(0;\ 1)$

— Ось симметрии: $x = 0$

— Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -8 & -3 & 0 & 0 & -3 & -8 \\ \hline \end{array}$$

Функция симметрична относительно оси $x = 0$, значения $y$ одинаковы при $x = -k$ и $x = k$.

— Наибольшее значение функции — это значение в вершине:

$y_{\text{max}} = 1$, достигается при $x = 0$

— Функция возрастает при $x < 0$, так как при приближении к нулю значения $y$ увеличиваются.

— Функция убывает при $x > 0$, поскольку значения $y$ уменьшаются по мере удаления от нуля вправо.

График — парабола, направленная вниз, с вершиной в точке $(0;\ 1)$, и симметрично убывающими ветвями.