ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 2 Номер 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 2.26 (см. с. 99) изображен график функции $y = x^2 + 4x — 5$. С помощью графика определите:

а) нули функции;
б) значение функции, которое она принимает при $x = -1$;
в) значения $x$, при которых значение функции равно 5;
г) значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;
д) наименьшее значение функции;
е) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) Нули функции: $x = -5$ и $x = 1$;
б) При $x = -1$ функция принимает значение: $y = -8$;
в) $y = 5$ при $x \approx -5{,}8$ и $x \approx 1{,}8$;
г) Функция принимает отрицательные значения при $-5 < x < 1$;
Принимает положительные значения при $x \in (-\infty;\ -5) \cup (1;\ +\infty)$;
д) Наименьшее значение функции: $y = -9$ при $x = -2$;
е) Функция возрастает при $x > -2$;
Функция убывает при $x < -2$.

а) Нули функции — это такие значения $x$, при которых $y = 0$, то есть график пересекает ось абсцисс. По рисунку видно, что парабола пересекает ось $x$ в точках $x = -5$ и $x = 1$. Это значит, что:

$x = -5$ и $x = 1$ — это нули функции $y = x^2 + 4x — 5$, поскольку $y = 0$ при этих значениях $x$. Точки $(-5;\ 0)$ и $(1;\ 0)$ лежат на графике функции.

б) Значение функции при $x = -1$ можно определить, подставив это значение в уравнение функции:

$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 5 = 1 — 4 — 5 = -8$

Следовательно, при $x = -1$ функция принимает значение $y = -8$, то есть точка $(-1;\ -8)$ лежит на графике.

в) При каких значениях $x$ функция принимает значение 5:

Решим уравнение $x^2 + 4x — 5 = 5$. Переносим 5 в левую часть:

$x^2 + 4x — 10 = 0$

Решим это уравнение по формуле дискриминанта:

$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}$

Примерные значения:

$\sqrt{14} \approx 3{,}74$, тогда:

$x_1 \approx -2 — 3{,}74 = -5{,}74$
$x_2 \approx -2 + 3{,}74 = 1{,}74$

Таким образом, при $x \approx -5{,}74$ и $x \approx 1{,}74$ функция принимает значение $y = 5$. Это подтверждается графически: парабола достигает уровня $y = 5$ в двух точках, симметричных относительно оси симметрии.

г) Функция принимает отрицательные значения, то есть $y < 0$, в тех точках, где график лежит ниже оси $x$. Это происходит между нулями функции — в промежутке между $x = -5$ и $x = 1$:

$y < 0$ при $-5 < x < 1$

Функция принимает положительные значения, то есть $y > 0$, там, где график лежит выше оси $x$. Это происходит вне корней функции:

$y > 0$ при $x \in (-\infty;\ -5) \cup (1;\ +\infty)$

д) Наименьшее значение функции — это значение $y$ в вершине параболы. Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), вершина соответствует минимальному значению функции.

Координата вершины по оси $x$ находится по формуле:

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

Подставим в исходную функцию:

$y(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9$

Наименьшее значение функции — это $y = -9$, оно достигается при $x = -2$. Вершина параболы — точка $(-2;\ -9)$.

е) Поведение функции:

Функция возрастает там, где значения $y$ увеличиваются при увеличении $x$. У квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a > 0$, она:

— убывает при $x < -\frac{b}{2a}$;
— возрастает при $x > -\frac{b}{2a}$

В нашем случае вершина при $x = -2$, значит:

— функция убывает при $x < -2$;
— функция возрастает при $x > -2$