ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 2 Номер 10 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $x^2+3x-28<0$;
б) $-2x^2+10x-12⩽0$;
в) $2x^2+2>0$;
г) $x^2+2x+3⩽0$;
д) $x^2⩾\frac{1}{4}$;
е) $3x>x^2$.

а) $x^2+3x-28<0$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2+3x-28=0;$$

$$$$$$D=3^2+4\cdot 28=9+112=121,\text{ тогда:}$$

$$$$$$x_1=\frac{-3-11}{2}=-7\text{и}{x}_2=\frac{-3+11}{2}=4;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in (-7;4)$.

б) $-2x^2+10x-12⩽0$:

$\mathrm{1)\; a}=-2<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$-2x^2+10x-12=0;$$

$$$$$$D={10}^2-4\cdot 2\cdot 12=100-96=4,\text{ тогда:}$$

$$$$$$x_1=\frac{-10-2}{2\cdot (-2)}=3\text{и}{x}_2=\frac{-10+2}{2\cdot (-2)}=2;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };2]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

в) $2x^2+2>0$:

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$2x^2+2=0;$$$$2x^2=-2;$$$$x^2=-1\text{— корней нет;}$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

г) $x^2+2x+3⩽0$:

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2+2x+3=0;$$

$$$$$$D=2^2-4\cdot 3=4-12=-8;$$

$$$$$$D<0,\text{ значит корней нет;}$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in \mathrm{\varnothing }$.

д) $x^2⩾\frac{1}{4}$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:

$$x^2-\frac{1}{4}=0;$$$$x^2=\frac{1}{4},\text{ отсюда }x=\pm \frac{1}{2};$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })$.

е) $3x>x^2$:

$\mathrm{1)\; a}=-1<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:

$$3x-x^2=0;$$$$x(3-x)=0,\text{ тогда:}$$$$x_1=0\text{и}3-x=0,\text{ отсюда }{x}_2=3;$$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $x\in (0;3)$.

а) $x^2+3x-28<0$:

Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a>0$, парабола имеет ветви, направленные вверх, то есть график открывается вверх.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2+3x-28=0$ по формуле корней:

Дискриминант:
$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot (-28)=9+112=121$

Корни уравнения:
$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{121}}{2\cdot 1}=\frac{-3-11}{2}=-7$
$x_2=\frac{-3+\sqrt{121}}{2\cdot 1}=\frac{-3+11}{2}=4$

Поскольку ветви направлены вверх, и нам нужно найти, где квадратичное выражение меньше нуля, т.е. $x^2+3x-28<0$, это происходит между корнями параболы, т.е. на интервале, где график лежит ниже оси абсцисс.

Значит, решением будет промежуток:
$x\in (-7;4)$

Графически: парабола пересекает ось $x$ в точках $x=-7$ и $x=4$, а ниже оси она находится между этими точками.

Ответ: $x\in (-7;4)$

б) $-2x^2+10x-12⩽0$:

Коэффициент при $x^2$: $a=-2<0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз, то есть график открывается вниз.

Решим уравнение $-2x^2+10x-12=0$, чтобы найти точки пересечения графика с осью $x$.

Применим формулу дискриминанта:
$D=b^2-4ac={10}^2-4\cdot (-2)\cdot (-12)=100-96=4$

Найдём корни уравнения:
$x_1=\frac{-10-\sqrt{4}}{2\cdot (-2)}=\frac{-10-2}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$
$x_2=\frac{-10+\sqrt{4}}{2\cdot (-2)}=\frac{-10+2}{-4}=\frac{-8}{-4}=2$

Порядок: $x_2=2$, $x_1=3$

Ветви направлены вниз, следовательно, парабола лежит выше оси $x$ между корнями, и ниже или на оси вне корней. Так как знак неравенства $⩽0$, нас интересуют области, где значение выражения меньше либо равно нулю, то есть внешние области параболы и точки пересечения.

Таким образом, $x\in (-\mathrm{\infty };2]\cup [3;+\mathrm{\infty })$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };2]\cup [3;+\mathrm{\infty })$

в) $2x^2+2>0$:

Коэффициент $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх.

Решим уравнение $2x^2+2=0$ для нахождения возможных точек пересечения с осью $x$:

Переносим константу:
$2x^2=-2$

Делим обе части на 2:
$x^2=-1$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, график параболы не пересекает ось абсцисс и находится всё время выше неё, потому что $a>0$.

Неравенство строгое: $>0$, и значение функции всегда положительное, так как нет корней и ветви вверх.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

г) $x^2+2x+3⩽0$:

$a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём дискриминант:
$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8$

Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней. График не пересекает ось $x$.

Поскольку $a>0$, график всегда выше оси $x$, значение выражения всегда положительное, а значит $x^2+2x+3>0$ для всех $x$. Но в неравенстве стоит знак $⩽0$, а такого $x$, при котором выражение $⩽0$, не существует.

Ответ: $x\in \mathrm{\varnothing }$

д) $x^2⩾\frac{1}{4}$:

$a=1>0$, значит, ветви направлены вверх.

Перепишем неравенство в виде уравнения для нахождения граничных точек:
$x^2=\frac{1}{4}$

Извлекаем корень:
$x=\pm \frac{1}{2}$

Так как $a>0$, ветви вверх. Значения функции $x^2$ меньше $\frac{1}{4}$ между корнями и больше или равно вне корней.

Знак неравенства $⩾$, нас интересуют значения от $\frac{1}{4}$ и выше, то есть всё вне интервала $(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })$

е) $3x>x^2$:

Перенесём всё в одну сторону:
$3x-x^2⩾0$

Приведём к каноническому виду:
$-x^2+3x⩾0$

Коэффициент $a=-1<0$, значит, ветви направлены вниз.

Найдём корни уравнения:
$-x^2+3x=0$

Вынесем $x$ за скобку:
$x(-x+3)=0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x=0$, $-x+3=0\Rightarrow x=3$

Так как ветви вниз, парабола между корнями лежит над осью $$$x$. А нас интересует область, где выражение $⩾0$, то есть включая точки пересечения и участок, где график выше оси $x$.

Ответ: $x\in \mathrm{(0};3)$