ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 1 Номер 12 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для положительных чисел $a$ и $b$ выполнено неравенство:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2.$$

Доказать: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$, где $a$ и $b$ — положительные числа;

Доказательство:
$a > 0$ и $b > 0$, значит $ab > 0$;
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$;
$\frac{a^2 + b^2}{ab} — 2 \geqslant 0 \quad | \cdot ab$;
$a^2 + b^2 — 2ab \geqslant 0$;
$(a — b)^2 \geqslant 0$;

Верно, так как квадрат любого числа больше либо равен нулю.

Доказать: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$, где $a$ и $b$ — положительные числа;

У нас есть два положительных числа $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их произведение $ab > 0$.

Начнем с того, что изначальное неравенство выглядит так:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2.$$

Для того, чтобы доказать это неравенство, преобразуем его. Сначала переведем все выражения в одну дробь:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}.$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$\frac{a^2 + b^2}{ab} \geqslant 2.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $ab$ (помним, что $a > 0$ и $b > 0$, так что $ab > 0$):

$$a^2 + b^2 \geqslant 2ab.$$

Теперь перенесем все элементы в одну сторону:

$$a^2 + b^2 — 2ab \geqslant 0.$$

Заметим, что выражение $a^2 + b^2 — 2ab$ является полным квадратом разности $a — b$:

$$a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2.$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$(a — b)^2 \geqslant 0.$$

Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю:

$$(a — b)^2 \geqslant 0.$$

Ответ: доказательство завершено.