ГДЗ по Алгебре 9 Класс Это Надо Уметь Глава 1 Номер 11 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для любых чисел $x$ и $y$ выполнено неравенство:

$$x(x + y) \geqslant y(x — y).$$

Доказать: $x(x + y) \geqslant y(x — y)$, где $x$ и $y$ — любые числа;

Доказательство:
$x(x + y) \geqslant y(x — y)$;
$x(x + y) — y(x — y) \geqslant 0$;
$x^2 + xy — xy + y^2 \geqslant 0$;
$x^2 + y^2 \geqslant 0$;

Верно, так как квадрат любого числа больше либо равен нулю.

Доказать: $x(x + y) \geqslant y(x — y)$, где $x$ и $y$ — любые числа;

Начнем с того, что изначальное неравенство выглядит так:

$$x(x + y) \geqslant y(x — y).$$

Переносим все элементы на одну сторону, чтобы получить неравенство с нулем:

$$x(x + y) — y(x — y) \geqslant 0.$$

Раскрываем скобки на обеих частях:

$$x(x + y) = x^2 + xy, \quad y(x — y) = yx — y^2 = xy — y^2.$$

Подставляем эти выражения в исходное неравенство:

$$x^2 + xy — (xy — y^2) \geqslant 0.$$

Убираем одинаковые термины $xy$ с обеих сторон:

$$x^2 + y^2 \geqslant 0.$$

Утверждаем, что выражение $x^2 + y^2 \geqslant 0$ всегда верно, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что:

$$x^2 \geqslant 0 \quad \text{и} \quad y^2 \geqslant 0,$$

и их сумма тоже будет больше или равна нулю:

$$x^2 + y^2 \geqslant 0.$$

Ответ: доказательство завершено.