ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 626 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 120;
б) всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150;
в) всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5.

Количество членов арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)=a_1+dn-d$, отсюда $n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$;

а) Сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не больших 120:

$a_1=3$, $a_n=120$ и $d=3$;

$n=\frac{120-3}{3}+1=\frac{117}{3}+1=39+1=40$;

$S_{40}=\frac{3+120}{2}\cdot 40=\frac{123}{2}\cdot 40=123\cdot 20=2460$;

б) Сумма всех натуральных чисел между 50 и 150, кратных 4:

$a_1=52$, $a_n=148$ и $d=4$;

$n=\frac{148-52}{4}+1=\frac{96}{4}+1=24+1=25$;

$S_{25}=\frac{148+52}{2}\cdot 25=\frac{200}{2}\cdot 25=100\cdot 25=2500$;

в) Сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и кратных 5:

$a_1=5$, $a_n=95$ и $n=5$;

$n=\frac{95-5}{5}+1=\frac{90}{5}+1=18+1=19$;

$S_{19}=\frac{5+95}{2}\cdot 19=\frac{100}{2}\cdot 19=50\cdot 19=950$;

Сумма всех натуральных чисел, меньших 100:

$a_1=1$, $a_n=99$ и $d=1$;

$n=(99-1)+1=99$;

$S_{99}=\frac{1+99}{2}\cdot 99=\frac{100}{2}\cdot 99=50\cdot 99=4950$;

Сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 5:

$S=S_{99}-S_{19}=4950-950=4000$;

а) Сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не больших 120:

1. Мы имеем арифметическую прогрессию, в которой каждый член — это натуральное число, кратное 3. Первый член прогрессии $a_1=3$, последний член $a_n=120$, разность прогрессии $d=3$.

2. Для того, чтобы найти количество членов этой прогрессии, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)\mathrm{.}$$

Подставим известные значения $a_n=120$, $a_1=3$, и $d=3$:

$$120=3+3(n-1)\mathrm{.}$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$120-3=3(n-1),$$

$$$$$$117=3(n-1),$$

$$$$$$\frac{117}{3}=n-1,$$

$$$$$$39=n-1,$$

$$$$$$n=40.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n=40$.

3. Теперь вычислим сумму этих 40 членов, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем $a_1=3$, $a_n=120$, и $n=40$:

$$S_{40}=\frac{3+120}{2}\cdot 40=\frac{123}{2}\cdot 40=123\cdot 20=2460.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не больших 120, равна $S_{40}=2460$.

б) Сумма всех натуральных чисел между 50 и 150, кратных 4:

1. В этой задаче мы имеем арифметическую прогрессию, члены которой — это числа, кратные 4, и лежащие в интервале от 50 до 150. Первый член прогрессии $a_1=52$, последний член $a_n=148$, разность прогрессии $d=4$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем ту же формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)\mathrm{.}$$

Подставляем $a_n=148$, $a_1=52$, и $d=4$:

$$148=52+4(n-1)\mathrm{.}$$

Решаем для $n$:

$$148-52=4(n-1),$$

$$$$$$96=4(n-1),$$

$$$$$$\frac{96}{4}=n-1,$$

$$$$$$24=n-1,$$

$$$$$$n=25.$$

Таким образом, количество членов прогрессии равно $n=25$.

3. Для нахождения суммы этих 25 членов используем формулу для суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем $a_1=52$, $a_n=148$, и $n=25$:

$$S_{25}=\frac{52+148}{2}\cdot 25=\frac{200}{2}\cdot 25=100\cdot 25=2500.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел между 50 и 150, кратных 4, равна $S_{25}=2500$.

в) Сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и кратных 5:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой — это числа, кратные 5, и меньшие 100. Первый член прогрессии $a_1=5$, последний член $a_n=95$, разность прогрессии $d=5$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)\mathrm{.}$$

Подставляем $a_n=95$, $a_1=5$, и $d=5$:

$$95=5+5(n-1)\mathrm{.}$$

Решаем для $n$:

$$95-5=5(n-1),$$

$$$$$$90=5(n-1),$$

$$$$$$\frac{90}{5}=n-1,$$

$$$$$$18=n-1,$$

$$$$$$n=19.$$

Таким образом, количество членов прогрессии равно $n=19$.

3. Для нахождения суммы этих 19 членов используем формулу для суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем $a_1=5$, $a_n=95$, и $n=19$:

$$S_{19}=\frac{5+95}{2}\cdot 19=\frac{100}{2}\cdot 19=50\cdot 19=950.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и кратных 5, равна $S_{19}=950$.

Сумма всех натуральных чисел, меньших 100:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все натуральные числа от 1 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=1$, последним членом $a_n=99$, и разностью $d=1$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)\mathrm{.}$$

Подставляем $a_n=99$, $a_1=1$, и $d=1$:

$$99=1+1(n-1)\mathrm{.}$$

Решаем для $n$:

$$99-1=n-1,$$$$98=n-1,$$$$n=99.$$

Таким образом, количество всех натуральных чисел, меньших 100, равно 99.

3. Для нахождения суммы этих 99 членов используем формулу для суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем $a_1=1$, $a_n=99$, и $n=99$:

$$S_{99}=\frac{1+99}{2}\cdot 99=\frac{100}{2}\cdot 99=50\cdot 99=4950.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, меньших 100, равна $S_{99}=4950$.

Сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 5:

1. Сумма всех натуральных чисел, не кратных 5, равна разности между суммой всех натуральных чисел от 1 до 99 и суммой всех чисел, кратных 5.

2. Мы уже вычислили сумму всех натуральных чисел, меньших 100, равную $S_{99}=4950$, и сумму всех чисел, меньших 100 и кратных 5, равную $S_{19}=950$.

3. Таким образом, сумма всех чисел, не кратных 5:

$$S=S_{99}-S_{19}=4950-950=4000.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 5, равна $S=4000$.