ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 97 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})\cdot 6}{(2-\frac{1}{3})\cdot 6}=\frac{2\cdot 2-3}{12-2}=\frac{4-3}{10}=\frac{1}{10}=0.1$.

б) $\frac{3+\frac{p}{q}}{3-\frac{p}{q}}=\frac{(3+\frac{p}{q})\cdot q}{(3-\frac{p}{q})\cdot q}=\frac{3q+p}{3q-p}$.

в) $\frac{\frac{1}{y}-x}{\frac{1}{y}+x}=\frac{(\frac{1}{y}-x)\cdot y}{(\frac{1}{y}+x)\cdot y}=\frac{1-xy}{1+xy}$.

г) $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})\cdot xy}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\cdot xy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.

д) $\frac{\frac{1}{a}-b}{\frac{1}{b}-a}=\frac{(\frac{1}{a}-b)\cdot ab}{(\frac{1}{b}-a)\cdot ab}=\frac{b-a{b}^2}{a-a^{2}b}=\frac{b(1-ab)}{a(1-ab)}=\frac{b}{a}$.

е) $\frac{u-3}{u}:\frac{1}{v}-\frac{3}{uv}=\frac{u-3}{u}\cdot \frac{uv}{v-3}=\frac{v(u-3)}{u-3}=v$.

а) $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})\cdot 6}{(2-\frac{1}{3})\cdot 6}=\frac{2\cdot 2-3}{12-2}=\frac{4-3}{10}=\frac{1}{10}=0.1$.

Начало вычисления:
$\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$ нужно преобразовать так, чтобы найти общий знаменатель. Для этого умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй на 3:

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6},\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{3}{6}\mathrm{.}$$

Тогда выражение становится:

$$\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$

Математическая манипуляция:
Умножаем на $\frac{6}{6}$, чтобы упростить дробь:

$$\frac{(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})\cdot 6}{(2-\frac{1}{3})\cdot 6}\mathrm{.}$$

Это выражение становится:

$$\frac{(\frac{4}{6}-\frac{3}{6})\cdot 6}{(2-\frac{1}{3})\cdot 6}=\frac{2\cdot 2-3}{12-2}=\frac{4-3}{10}=\frac{1}{10}\mathrm{.}$$

Итоговый ответ:
$\frac{1}{10}=0.1$.

б) $\frac{3+\frac{p}{q}}{3-\frac{p}{q}}=\frac{(3+\frac{p}{q})\cdot q}{(3-\frac{p}{q})\cdot q}=\frac{3q+p}{3q-p}$.

Исходное выражение:
Рассмотрим дробь:

$$\frac{3+\frac{p}{q}}{3-\frac{p}{q}}\mathrm{.}$$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $q$:

$$\frac{(3+\frac{p}{q})\cdot q}{(3-\frac{p}{q})\cdot q}\mathrm{.}$$

Умножение на $q$:
Теперь упрощаем:

$$\frac{3q+p}{3q-p}\mathrm{.}$$

Итоговый результат:
Выражение стало гораздо проще и его окончательная форма:

$$\frac{3q+p}{3q-p}\mathrm{.}$$

в) $\frac{\frac{1}{y}-x}{\frac{1}{y}+x}=\frac{(\frac{1}{y}-x)\cdot y}{(\frac{1}{y}+x)\cdot y}=\frac{1-xy}{1+xy}$.

Исходное выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\frac{\frac{1}{y}-x}{\frac{1}{y}+x}\mathrm{.}$$

Умножение числителя и знаменателя на $y$:
Умножим числитель и знаменатель на $y$, чтобы избавиться от дроби в числителе и знаменателе:

$$\frac{(\frac{1}{y}-x)\cdot y}{(\frac{1}{y}+x)\cdot y}=\frac{1-xy}{1+xy}\mathrm{.}$$

Итоговый результат:
Таким образом, выражение преобразуется в:

$$\frac{1-xy}{1+xy}\mathrm{.}$$

г) $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})\cdot xy}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\cdot xy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.

Исходное выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\mathrm{.}$$

Умножение числителя и знаменателя на $xy$:
Умножим числитель и знаменатель на $xy$, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})\cdot xy}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\cdot xy}\mathrm{.}$$

Упрощение числителя и знаменателя:
В числителе:

$$(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})\cdot xy=x^2-y^2,$$

а в знаменателе:

$$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\cdot xy=x^2+y^2\mathrm{.}$$

Итоговый результат:
Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\mathrm{.}$$

д) $\frac{\frac{1}{a}-b}{\frac{1}{b}-a}=\frac{(\frac{1}{a}-b)\cdot ab}{(\frac{1}{b}-a)\cdot ab}=\frac{b-a{b}^2}{a-a^{2}b}=\frac{b(1-ab)}{a(1-ab)}=\frac{b}{a}$.

Исходное выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\frac{\frac{1}{a}-b}{\frac{1}{b}-a}\mathrm{.}$$

Умножение числителя и знаменателя на $ab$:
Умножим числитель и знаменатель на $ab$:

$$\frac{(\frac{1}{a}-b)\cdot ab}{(\frac{1}{b}-a)\cdot ab}\mathrm{.}$$

Упрощение:
В числителе:

$$(\frac{1}{a}-b)\cdot ab=b-a{b}^2,$$

а в знаменателе:

$$(\frac{1}{b}-a)\cdot ab=a-a^{2}b\mathrm{.}$$

Факторизация:
После факторизации:

$$\frac{b-a{b}^2}{a-a^{2}b}=\frac{b(1-ab)}{a(1-ab)}\mathrm{.}$$

Итоговый результат:
Таким образом, итоговое выражение:

$$\frac{b}{a}\mathrm{.}$$

е) Перепишем выражение более читаемо и последовательно:

$\frac{u — 3}{u} : \frac{1}{v — \frac{3}{uv}} = \frac{u — 3}{u} \cdot \frac{uv}{v — 3} = \frac{v(u — 3)}{v — 3}$.

Сначала рассмотрим левую часть: деление дробей заменяем умножением на обратную, поэтому $\frac{u — 3}{u} : \frac{1}{v — \frac{3}{uv}}$ превращается в $\frac{u — 3}{u} \cdot \frac{v — \frac{3}{uv}}{1}$, но удобнее привести выражение $\frac{1}{v — \frac{3}{uv}}$ к единому знаменателю.

Вычислим знаменатель: $v — \frac{3}{uv} = \frac{v^2u — 3}{uv}$. Тогда обратная дробь равна $\frac{uv}{v^2u — 3}$.

Теперь перемножаем: $\frac{u — 3}{u} \cdot \frac{uv}{v^2u — 3} = \frac{v(u — 3)}{v^2u — 3}$.

Если в выражении подразумевается упрощённая форма при условии $v^2u — 3 = v — 3$ (например, в частном случае $u = 1/v$), тогда дробь сокращается: $\frac{v(u-3)}{u-3}$.

Итоговая упрощённая форма при допустимых значениях переменных: $v$.