ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 96 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\left( c + \frac{1}{c} \right)^2 — 2$;

б) $\left( m — \frac{2}{m} \right)^2 — \left( m + \frac{2}{m} \right)^2$;

в) $\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)^2 — \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right)$;

г) $\left( a + \frac{a + 1}{a} \right)^2 — \left( a — \frac{a + 1}{a} \right)^2$.

а)

$${(c+\frac{1}{c})}^2-2=c^2+2c\cdot \frac{1}{c}+\frac{1}{c^2}-2=c^2+2+\frac{1}{c^2}-2=c^2+\frac{1}{c^2}\mathrm{.}$$

б)

$${(m-\frac{2}{m})}^2-{(m+\frac{2}{m})}^2=m^2-2m\cdot \frac{2}{m}+\frac{4}{m^2}-(m^2+2m\cdot \frac{2}{m}+\frac{4}{m^2})=$$

$$m^2-4+\frac{4}{m^2}-m^2-4-\frac{4}{m^2}=-8.$$

в)

$${(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2-(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})=\frac{x^2}{y^2}+2\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}=2.$$

г)

$${(a+\frac{a+1}{a})}^2-{(a-\frac{a+1}{a})}^2=a^2+2a\cdot \frac{a+1}{a}+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}-(a^2-2a\cdot \frac{a+1}{a}+\frac{(a+1{)}^2}{a^2})=$$

$$a^2+2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}-a^2+2(a+1)-\frac{(a+1{)}^2}{a^2}=2(a+1)+2(a+1)=$$

$$2a+2+2a+2=4a+4.$$

а)

Исходное выражение:

$${(c+\frac{1}{c})}^2-2.$$

Раскроем скобки:

$${(c+\frac{1}{c})}^2=c^2+2c\cdot \frac{1}{c}+{\left(\frac{1}{c}\right)}^2=c^2+2+\frac{1}{c^2}\mathrm{.}$$

Вычитаем 2:

$$c^2+2+\frac{1}{c^2}-2=c^2+\frac{1}{c^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$c^2+\frac{1}{c^2}\mathrm{.}$$

б)

Исходное выражение:

$${(m-\frac{2}{m})}^2-{(m+\frac{2}{m})}^2\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$${(m-\frac{2}{m})}^2=m^2-2m\cdot \frac{2}{m}+{\left(\frac{2}{m}\right)}^2=m^2-4+\frac{4}{m^2},$$$${(m+\frac{2}{m})}^2=m^2+2m\cdot \frac{2}{m}+{\left(\frac{2}{m}\right)}^2=m^2+4+\frac{4}{m^2}\mathrm{.}$$

Вычитаем:

$$(m^2-4+\frac{4}{m^2})-(m^2+4+\frac{4}{m^2})=m^2-4+\frac{4}{m^2}-m^2-4-\frac{4}{m^2}\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$-4-4=-8.$$

Ответ:

$$-8.$$

в)

Исходное выражение:

$${(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2-(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$${(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2={\left(\frac{x}{y}\right)}^2+2\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}\mathrm{.}$$

Вычитаем:

$$(\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2})-(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})=2.$$

Ответ:

$$2.$$

г)

Исходное выражение:

$${(a+\frac{a+1}{a})}^2-{(a-\frac{a+1}{a})}^2\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$${(a+\frac{a+1}{a})}^2=a^2+2a\cdot \frac{a+1}{a}+{\left(\frac{a+1}{a}\right)}^2=a^2+2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2},$$$${(a-\frac{a+1}{a})}^2=a^2-2a\cdot \frac{a+1}{a}+{\left(\frac{a+1}{a}\right)}^2=a^2-2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}\mathrm{.}$$

Вычитаем:

$$(a^2+2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2})-(a^2-2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2})\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$a^2+2(a+1)+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}-a^2+2(a+1)-\frac{(a+1{)}^2}{a^2}=2(a+1)+2(a+1)=4(a+1)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$4a+4.$$