ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 844 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
\(y=\frac{1}{x^{4}-4x^{2}};\)
\(y=\sqrt{2x};\)
\(y=\sqrt{-2x};\)
\(y=\frac{1}{|4-x|}.\)

$y = \frac{1}{x^4 — 4x^2}$

$x^4 — 4x^2 \neq 0$

$x^2(x^2 — 4) \neq 0$

$x^2 \neq 0, \quad x^2 \neq 4$

$x \neq 0, \quad x \neq \pm 2$

Ответ: $x \neq \pm 2; \, x \neq 0$

$y = \sqrt{2x}$

$\sqrt{2x} \geq 0$

$2x \geq 0$

$x \geq 0$

Ответ: $x \geq 0$

$y = \sqrt{-2x}$

$\sqrt{-2x} \geq 0$

$-2x \geq 0$

$x \leq 0$

Ответ: $x \leq 0$

$y = \frac{1}{|4 — x|}$

$|4 — x| \neq 0$

$4 — x \neq 0$

$x \neq 4$

Ответ: $x \neq 4$

1. Рассмотрим функцию

$y = \frac{1}{x^4 — 4x^2}$

Необходимо найти область определения этой функции, что подразумевает нахождение всех значений $x$, при которых выражение в знаменателе не равно нулю. Это условие является обязательным, так как деление на ноль не определено.

Для начала распишем выражение в знаменателе:

$$x^4 — 4x^2 = x^2(x^2 — 4)$$

Чтобы знаменатель не равнялся нулю, необходимо, чтобы выражение $x^2(x^2 — 4) \neq 0$. Это условие выполняется, если оба множителя не равны нулю. Таким образом, рассматриваем два случая:

$x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

$x^2 — 4 \neq 0$, что приводит к $x^2 \neq 4$, или $x \neq \pm 2$.

Следовательно, область определения функции:

$$x \neq 0, \quad x \neq \pm 2$$

Ответ: $x \neq \pm 2; \, x \neq 0$

2. Теперь рассмотрим функцию

$y = \sqrt{2x}$

Чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Для этого записываем условие:

$$\sqrt{2x} \geq 0$$

Это неравенство выполняется, если $2x \geq 0$, что в свою очередь дает:

$$x \geq 0$$

Ответ: $x \geq 0$

3. Перейдем к функции

$y = \sqrt{-2x}$

Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sqrt{-2x} \geq 0$$

Это условие выполняется, если $-2x \geq 0$, что означает:

$$x \leq 0$$

Ответ: $x \leq 0$

4. Рассмотрим функцию

$y = \frac{1}{|4 — x|}$

Чтобы функция была определена, выражение в знаменателе не должно быть равно нулю. Поскольку знаменатель состоит из модуля, необходимо решить следующее неравенство:

$$|4 — x| \neq 0$$

Модуль равен нулю только тогда, когда $4 — x = 0$, то есть $x = 4$. Следовательно, область определения функции:

$$x \neq 4$$

Ответ: $x \neq 4$