ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 819 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:
а) y=-1/x и y=-x; б) y=2/x и y=x+1.

а) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$;
Ответ: $(-1; 1)$; $(1; -1)$.

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$;
Ответ: $(-2; -1)$; $(1; 2)$.

а) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$;

Наша задача — найти точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их значения и решим уравнение.

$$-\frac{1}{x} = -x$$

Чтобы избавиться от отрицательных знаков, умножим обе части уравнения на $-1$:

$$\frac{1}{x} = x$$

Теперь умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$1 = x^2$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Теперь подставим эти значения $x$ в одну из исходных функций, например, $y = -x$:

При $x = 1$, $y = -1$.

При $x = -1$, $y = 1$.

Таким образом, точки пересечения функций — это $(-1; 1)$ и $(1; -1)$.

Ответ: $(-1; 1)$; $(1; -1)$.

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$;

Аналогично, для нахождения точек пересечения приравняем функции:

$$\frac{2}{x} = x + 1$$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$2 = x(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$2 = x^2 + x$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь найдем корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$

Таким образом, $x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ или $x = \frac{-1 — 3}{2} = -2$.

Теперь подставим эти значения $x$ в одну из исходных функций, например, $y = x + 1$:

• При $x = 1$, $y = 1 + 1 = 2$.
• При $x = -2$, $y = -2 + 1 = -1$.

Таким образом, точки пересечения функций — это $(-2; -1)$ и $(1; 2)$.

Ответ: $(-2; -1)$; $(1; 2)$.