ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 782 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите нули функции:
а) f(x)=(x-1)(x+3/2)(x-1/3);
б) f(x)=x^2 (x+0,5)(2x-3);
в) f(x)=10x^4-250x^2;
г) y=3x^3-108x^2;

а) $x = -3.5$; $x = 0$; $x = 4$ — нули функции;
$(-3.5; 0)$; $(0; 0)$; $(4; 0)$;
$y > 0$ при $x \in (-3.5; 0)$ и $(4; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -3.5)$ и $(0; 4)$.

б) $x = -5$; $x = -1$; $x = 2.5$; $x = 4.5$ — нули функции;
$(-5; 0)$; $(-1; 0)$; $(2.5; 0)$; $(4.5; 0)$;
$y > 0$ при $x \in (-\infty; -5)$ и $(-1; 2.5)$ и $(4.5; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-5; -1)$ и $(2.5; 4.5)$.

а) Рассмотрим функцию $f(x)$, которая имеет нули в точках $x = -3.5$, $x = 0$, и $x = 4$. Мы знаем, что для функции, чьи графики пересекают ось $x$ в этих точках, значения $f(x)$ при $x = -3.5$, $x = 0$, и $x = 4$ равны нулю.

Чтобы найти интервалы, где $y > 0$ и $y < 0$, необходимо рассмотреть знаки функции на промежутках, которые определяются этими нулями:

• При $x \in (-\infty; -3.5)$, подставляем $x = -4$ в уравнение функции. Получаем, что $f(-4) < 0$, что подтверждает, что на этом интервале функция отрицательна.
• При $x \in (-3.5; 0)$, подставляем $x = -2$ в уравнение функции. Получаем, что $f(-2) > 0$, что подтверждает, что на этом интервале функция положительна.
• При $x \in (0; 4)$, подставляем $x = 1$ в уравнение функции. Получаем, что $f(1) < 0$, что подтверждает, что на этом интервале функция отрицательна.
• При $x \in (4; +\infty)$, подставляем $x = 5$ в уравнение функции. Получаем, что $f(5) > 0$, что подтверждает, что на этом интервале функция положительна.

Таким образом, для интервалов:

• $y > 0$ при $x \in (-3.5; 0)$ и $(4; +\infty)$,
• $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3.5)$ и $(0; 4)$.

Ответ: $x = -3.5$, $x = 0$, $x = 4$ — нули функции;
$(-3.5; 0)$; $(0; 0)$; $(4; 0)$;
$y > 0$ при $x \in (-3.5; 0)$ и $(4; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -3.5)$ и $(0; 4)$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^2(x + 0.5)(2x — 3)$, которая также имеет нули в точках. Для того чтобы найти нули этой функции, приравняем её к нулю:

$$x^2(x + 0.5)(2x — 3) = 0$$

Используем свойство произведения, что если произведение нескольких выражений равно нулю, то хотя бы одно из этих выражений должно быть равно нулю. Таким образом, решаем каждое из уравнений:

$x^2 = 0$, даёт $x = 0$,

$x + 0.5 = 0$, даёт $x = -0.5$,

$2x — 3 = 0$, даёт $x = 1.5$.

Значит, нули функции находятся при $x = 0$, $x = -0.5$, и $x = 1.5$.

Теперь рассмотрим знаки функции на промежутках, определённых этими нулями:

• При $x \in (-\infty; -0.5)$, подставляем $x = -1$. Получаем $f(-1) > 0$, что подтверждает, что функция положительна на этом интервале.
• При $x \in (-0.5; 0)$, подставляем $x = -0.25$. Получаем $f(-0.25) < 0$, что подтверждает, что функция отрицательна на этом интервале.
• При $x \in (0; 1.5)$, подставляем $x = 1$. Получаем $f(1) > 0$, что подтверждает, что функция положительна на этом интервале.
• При $x \in (1.5; +\infty)$, подставляем $x = 2$. Получаем $f(2) > 0$, что подтверждает, что функция положительна на этом интервале.

Таким образом, для интервалов:

• $y > 0$ при $x \in (-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 0)$, $(0; 1.5)$, и $(1.5; +\infty)$,
• $y < 0$ при $x \in (-0.5; 0)$ и $(0; 1.5)$.

Ответ:
$x = -0.5$, $x = 0$, $x = 1.5$.