ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 773 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что график функции:
а) y=3x^2+4 целиком расположен в верхней полуплоскости;
б) y=(x^2+5)/(x-5) не пересекает ось x;
в) y=3-1/x не пересекает ось y.

а) $y = 3x^2 + 4$

Верно, так как начало параболы в точке $(0; 4)$, а ветви расположены вверх.

б) $y = \frac{x^2 + 5}{x — 5}$

График пересекает ось $x$ при $y = 0$:

$$0=\frac{x^2+5}{x-5}$$

$$0 = \frac{x^2 + 5}{x — 5}$$ $$x^2+5=x-5$$

$$x^2 + 5 = x — 5$$ $$x^2-x+5+5=0$$

$$x^2 — x + 5 + 5 = 0$$ $$x^2-x+10=0$$

$$x^2 — x + 10 = 0$$ $$D = 1 — 4 \cdot 10 = -39 < 0 \quad \text{— решений нет.}$$

Значит, график данной функции не пересекает ось $x$.

в) $y = 3 — \frac{1}{x}$

График пересекает ось $y$ при $x = 0$, но $x \neq 0$ — следовательно, график данной функции не пересекает ось $y$.

а) $y = 3x^2 + 4$

Это квадратичная функция. Чтобы проанализировать график, давайте начнем с основ: у нас есть функция второй степени, где $a = 3$ и $b = 4$. Парабола будет открываться вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Вершина параболы будет находиться в точке $x = 0$, поскольку у нас нет линейного члена в уравнении (коэффициент при $x$ равен нулю). Для нахождения вершины функции мы подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = 3(0)^2 + 4 = 4$$

Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке $(0; 4)$. Парабола будет симметрична относительно оси $y$, и ветви будут направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

Теперь найдем несколько точек на графике для более детального понимания поведения функции.

При $x = 1$:

$$y = 3(1)^2 + 4 = 3 + 4 = 7$$

Точка $(1; 7)$ будет на графике функции.

При $x = -1$:

$$y = 3(-1)^2 + 4 = 3 + 4 = 7$$

Точка $(-1; 7)$ также будет на графике функции.

Таким образом, график функции будет иметь форму параболы с вершиной в точке $(0; 4)$, открывающейся вверх, и симметричной относительно оси $y$.

б) $y = \frac{x^2 + 5}{x — 5}$

Это рациональная функция, где числитель $x^2 + 5$ и знаменатель $x — 5$. Чтобы исследовать поведение графика этой функции, начнем с того, что функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 5$, так как при $x = 5$ знаменатель становится равным нулю. Теперь давайте проверим, где график пересекает ось $x$, то есть при $y = 0$:

$$0 = \frac{x^2 + 5}{x — 5}$$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на $x — 5$ (так как знаменатель не может быть равен нулю):

$$0 = x^2 + 5$$

Теперь решим это уравнение:

$$x^2 = -5$$

Корней этого уравнения нет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что график функции не пересекает ось $x$.

Также стоит отметить, что функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 5$ и горизонтальную асимптоту при $y = 0$, так как при больших значениях $|x|$, функция будет стремиться к нулю.

Ответ: график данной функции не пересекает ось $x$.

в) $y = 3 — \frac{1}{x}$

Это функция вида $y = 3 — \frac{1}{x}$, которая является гиперболой. Для того чтобы понять поведение этой функции, давайте начнем с того, что мы должны проверить, пересекает ли график ось $y$. Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = 3 — \frac{1}{0}$$

Однако делить на ноль невозможно, что означает, что функция не определена при $x = 0$. Таким образом, график функции не пересекает ось $y$, так как нет значения $y$ при $x = 0$.

Кроме того, функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 0$, так как при $x \to 0$, выражение $\frac{1}{x}$ становится бесконечно большим или бесконечно малым в зависимости от того, с какой стороны приближаемся к нулю.

Также стоит отметить, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту при $y = 3$, так как при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, $\frac{1}{x}$ стремится к нулю, и функция будет стремиться к 3.

Ответ: график данной функции не пересекает ось $y$.