ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 725 Это Надо Знать Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство
$4x — y = 4$
Решим уравнение для разных значений $x$:
при $x = 0$, $y = -4$
при $x = -1$, $y = -8$
при $x = 1$, $y = 0$
Ответ: $(0; -4)$; $(-1; -8)$; $(1; 0)$

2. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа
Линейные уравнения:
$x + y = 0$; $2x — 5y = 8$

3. Графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от нуля, является прямая

4. Найдите угловой коэффициент прямой $5x + 2y = 9$
Из уравнения $5x + 2y = 9$ выразим $y$:
$2y = 9 — 5x$
$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$
Угловой коэффициент равен $k = -\frac{5}{2}$
Ответ: $k = -\frac{5}{2}$

5. Прямые, изображённые на рисунке 4.44, могут быть заданы уравнениями вида $y = kx$. Для каждой прямой укажите знак коэффициента $k$
Прямая с положительным угловым коэффициентом имеет $k > 0$, а с отрицательным — $k < 0$

6. Геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y = kx + l$: это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Для прямой $y = 3x — 10$ коэффициент $l = -10$, значит, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -10)$

7. Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + l$. Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые
Условие параллельности: прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть $k_1 = k_2$
Пример: $y = 2x + 3$ и $y = 2x — 5$ — параллельные прямые, так как $k_1 = k_2 = 2$

8. Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными? Является ли решением системы уравнений

$$\begin{cases} x + 2y = -5 \\ x — y = 7 \end{cases}$$

пара чисел $(3; -4)$? $(-1; -2)$?
Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением каждого из уравнений. Проверим для пары чисел $(3; -4)$:
Подставим $x = 3$ и $y = -4$ в первое уравнение:
$3 + 2(-4) = -5 \Rightarrow -5 = -5$ — верно.
Подставим $x = 3$ и $y = -4$ во второе уравнение:
$3 — (-4) = 7 \Rightarrow 7 = 7$ — верно.
Ответ: $(3; -4)$ — решение
Проверим для пары чисел $(-1; -2)$:
Подставим $x = -1$ и $y = -2$ в первое уравнение:
$-1 + 2(-2) = -5 \Rightarrow -5 = -5$ — верно.
Подставим $x = -1$ и $y = -2$ во второе уравнение:
$-1 — (-2) = 7 \Rightarrow 1 \neq 7$ — неверно.
Ответ: $(-1; -2)$ — не решение

9. На примере системы уравнений

$$\begin{cases} 2x — y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$$

расскажите, как решают систему методом сложения
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми:

$$\begin{cases} 4x — 2y = 6 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$$

Складываем эти два уравнения:

$$(4x — 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16 \Rightarrow 11x = 22$$

Отсюда находим $x = 2$.
Подставляем $x = 2$ в первое уравнение:

$$2(2) — y = 3 \Rightarrow 4 — y = 3 \Rightarrow y = 1$$

Ответ: $(2; 1)$

10. Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений

1.

$$\begin{cases} 3x — y = 5 \\ 6x — 2y = 10 \end{cases} \quad \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x — y = 5 \end{cases} \quad \text{— бесконечное множество решений.}$$

2.

$$\begin{cases} 4x — y = 8 \\ 8x — y = 8 \end{cases} \quad \text{— единственное решение.}$$

3.

$$\begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x — 2y = -27 \end{cases} \quad \begin{cases} 6x — 2y = -18 \\ 6x — 2y = -27 \end{cases} \quad \text{— не имеет решений.}$$

1. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

$$4x — y = 4$$ $$y = 4x — 4$$

при $x = 0$, $\quad y = -4$;
при $x = -1$, $\quad y = -8$;
при $x = 1$, $\quad y = 0$.
Ответ: $(0; -4)$; $(-1; -8)$; $(1; 0)$.

2. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа.
Линейные уравнения:

$$x + y = 0; \quad 2x — 5y = 8.$$

3. Графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от нуля, является прямая.

4.

$$5x+2y=9$$

$$5x + 2y = 9$$ $$2y = 9 — 5x$$ $$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2} = -2,5x + 4,5,$$

$k = -2,5$.
Ответ: $k = -2,5$.

5. Прямая $a$ имеет $k < 0$ — отрицательный знак;
прямая $b$ имеет $k > 0$ — положительный знак;
прямая $c$ имеет $k > 0$ — положительный знак;
прямая $d$ имеет $k < 0$ — отрицательный знак.

6. Геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y = kx + l$: это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Прямая $y = 3x — 10$ пересекает ось $y$ в точке $(0; -10)$.

7. Если у двух прямых угловые коэффициенты одинаковые, то эти прямые являются параллельными.
Примеры:

$$y = \frac{2}{3}x + 5 \quad \text{и} \quad y = \frac{2}{3}x — 10.$$ $$y = -3x — \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y = -3x + 7.$$

8. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару чисел, которая является решением каждого из уравнений.
Проверим, является ли решение пара чисел $(3; -4)$:

$$\begin{cases} x + 2y = -5 \\ x — y = 7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3 + 2 \cdot (-4) = -5 \\ 3 — (-4) = 7 \end{cases} \quad \begin{cases} -5 = -5 \\ 7 = 7 \end{cases} \quad \text{является}.$$

Проверим, является ли решение пара чисел $(-1; -2)$:

$$\begin{cases} x + 2y = -5 \\ x — y = 7 \end{cases}$$ $$\{\begin{array}{l}3+2\cdot (-2)=-5\\ -1-(-2)=7\end{array}\{\begin{array}{l}-5=-5\\ 1\mathrm{\ne }7\end{array}\text{не является}\mathrm{.}$$

9.

$$\begin{cases} 2x — y = 3 & | \cdot 2 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} \quad \begin{cases} 4x — 2y = 6 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} \quad \begin{cases} 11x = 22 \\ 2x — y = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \cdot 2 — 3 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}.$$

Ответ: $(2; 1)$.

10.

$$\begin{cases} 3x — y = 5 \\ 6x — 2y = 10 \end{cases} \quad \begin{cases} 3x — y = 5 \\ 3x — y = 5 \end{cases} \quad \text{— бесконечное множество решений.}$$

$$\begin{cases} 4x — y = 8 \\ 8x — y = 8 \end{cases} \quad \text{— единственное решение.}$$

$$\begin{cases} y = 3x + 9 & | \cdot 2 \\ 6x — 2y = -27 \end{cases} \quad \begin{cases} 6x — 2y = -18 \\ 6x — 2y = -27 \end{cases} \quad \text{— не имеет решений.}$$

11.

$$\begin{cases} 3x — 4y = 5 \\ x — 3y = 0 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 3y \\ 3 \cdot 3y — 4y = 5 \end{cases} \quad \begin{cases} 9y — 4y = 5 \\ 5y = 5 \\ y = 1 \\ x = 3 \cdot 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}.$$

Ответ: $(3; 1)$.

1. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Рассмотрим уравнение:

$$4x — y = 4$$

Перепишем его в виде выражения для $y$:

$$y = 4x — 4$$

Теперь подставим различные значения для $x$:

• При $x = 0$:

$$y = 4(0) — 4 = -4$$

Ответ: $(0; -4)$

• При $x = -1$:

$$y = 4(-1) — 4 = -4 — 4 = -8$$

Ответ: $(-1; -8)$

• При $x = 1$:

$$y = 4(1) — 4 = 4 — 4 = 0$$

Ответ: $(1; 0)$

2. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа. Примеры линейных уравнений:

$$x + y = 0$$ $$2x — 5y = 8$$

3. Графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от нуля, является прямая. Это правило применимо ко всем линейным уравнениям.

4. Рассмотрим уравнение:

$$5x + 2y = 9$$

Из этого уравнения выразим $y$:

$$2y = 9 — 5x$$ $$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2} = -2,5x + 4,5$$

Теперь коэффициент при $x$ равен $k = -2,5$.

Ответ: $k = -2,5$

5. Прямая $a$ имеет $k < 0$ — отрицательный знак;
прямая $b$ имеет $k > 0$ — положительный знак;
прямая $c$ имеет $k > 0$ — положительный знак;
прямая $d$ имеет $k < 0$ — отрицательный знак.

6. Геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y = kx + l$: это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Например, для прямой:

$$y = 3x — 10$$

Она пересекает ось $y$ в точке $(0; -10)$.

7. Если у двух прямых угловые коэффициенты одинаковые, то эти прямые являются параллельными. Рассмотрим примеры:

• Прямые $y = \frac{2}{3}x + 5$ и $y = \frac{2}{3}x — 10$ имеют одинаковый коэффициент $\frac{2}{3}$, следовательно, они параллельны.
• Прямые $y = -3x — \frac{1}{2}$ и $y = -3x + 7$ также имеют одинаковый коэффициент $-3$, значит, они тоже параллельны.

8. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару чисел, которая является решением каждого из уравнений. Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} x + 2y = -5 \\ x — y = 7 \end{cases}$$

Проверим, является ли пара чисел $(3; -4)$ решением этой системы:

• Подставляем $x = 3$ и $y = -4$:

$$3 + 2(-4) = -5 \quad \text{и} \quad 3 — (-4) = 7$$

Проверка:

$$-5 = -5 \quad \text{и} \quad 7 = 7$$

Следовательно, $(3; -4)$ является решением.

Теперь проверим, является ли пара чисел $(-1; -2)$ решением:

• Подставляем $x = -1$ и $y = -2$:

$$-1 + 2(-2) = -5 \quad \text{и} \quad -1 — (-2) = 7$$

Проверка:

$$-5 = -5 \quad \text{и} \quad 1 \neq 7$$

Следовательно, $(-1; -2)$ не является решением.

$\begin{cases} 2x — y = 3 & | \cdot 2 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} \quad \begin{cases} 4x — 2y = 6 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} \quad \begin{cases} 11x = 22 \\ 2x — y = 3 \end{cases}$