ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 725 Это Надо Уметь Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Найдите какие-нибудь два решения уравнения $7x + 2y = 14$.

2. Является ли решением уравнения $xy — x = 18$ пара чисел: $(-3; -5)$, $(2; 10)$?

3. Проходит ли прямая $3x — 4y = 48$ через точку $A(20; 2)$? через точку $B(24; 6)$?

4. Вычислите координаты точек пересечения прямой $4x — 5y = 10$ с осями координат.

5. Постройте график уравнения:
а) $9x — 3y = 6$;
б) $y = -4x + 2$;
в) $y = \frac{1}{3}x$;
г) $y = -x$;
д) $y = -5$;
е) $x = 4$.

6. Решите систему уравнений:
а)
$\begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x — y = 7 \end{cases}$
в)
$\begin{cases} x — y = 5 \\ xy = 14 \end{cases}$
б)
$\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases}$

7. Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases}.$$

8. Вычислите координаты точки пересечения прямых $3x — y = 2$ и $2x — y = 3$.

9. Вычислите координаты точки пересечения прямой $y = 2 + x$ и окружности $x^2 + y^2 = 10$.

10. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

11. Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна $24 \, \text{см}^2$, а периметр равен $20 \, \text{см}$.

1.

$$7x + 2y = 14$$ $$2y = 14 — 7x$$ $$y = -3.5x + 7;$$

при $x = 0$, $\quad y = 7$;
при $x = 2$, $\quad y = 0$.
Ответ: $(0; 7)$; $(2; 0)$.

2.

$$xy — x = 18;$$

$(-3; -5)$:

$$-3 \cdot (-5) — (-3) = 15 + 3 = 18 \quad \text{— является решением.}$$

$(-5; -3)$:

$$-5 \cdot (-3) — (-5) = 15 + 5 = 20 \neq 18 \quad \text{— не является решением.}$$

$(2; 10)$:

$$2 \cdot 10 — 2 = 20 — 2 = 18 \quad \text{— является решением.}$$

3.

$$3x — 4y = 48;$$

A $(20; 2)$:

$$3 \cdot 20 — 4 \cdot 2 = 60 — 8 = 52 \neq 48 \quad \text{— не проходит.}$$

B $(24; 6)$:

$$3 \cdot 24 — 4 \cdot 6 = 72 — 24 = 48 \quad \text{— проходит.}$$

4.

$$4x-5y=10$$

$$4x — 5y = 10$$ $$4x=10+5y\text{и}5y=4x-10$$

$$4x = 10 + 5y \quad \text{и} \quad 5y = 4x — 10$$ $$x = \frac{10 + 5y}{4}, \quad y = \frac{4x — 10}{5};$$

при $y = 0$, $\quad x = 2.5$. при $x = 0$, $\quad y = -2$.
Ответ: $(0; -2)$; $(2.5; 0)$.

5.

а) $9x — 3y = 6$

$$3y = 9x — 6$$ $$y=3x-2;$$

$$y = 3x — 2;$$

б) $y = -4x + 2$;

в) $y = \frac{1}{3}x$;

г) $y = -x$;

д) $y = -5$;

е) $x = 4$.

6.

а)

$$\begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x — y = 7 \end{cases} \quad \begin{cases} 6x — 2y = 14 \quad + \\ 5x + 2y = 8 \end{cases} \quad \begin{cases} 11x = 22 \\ 3x — y = 7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \cdot 2 — 7 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}.$$

Ответ: $(2; -1)$.

б)

$$\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} \quad \begin{cases} 10x + 8y = 26 \quad | \cdot 2 \\ 10x + 4y = 34 \quad — \end{cases} \quad \begin{cases} 7x = 21 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 3 \\ 2y = 17 — 5 \cdot 3 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 3 \\ 2y = 2 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}.$$

Ответ: $(3; 1)$.

в)

$$\begin{cases} x — y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 5 + y \\ (5 + y)y = 14 \end{cases}$$

$$5y+y^2-14=0$$

$$5y + y^2 — 14 = 0$$ $$y^2+5y-14=0$$

$$y^2 + 5y — 14 = 0$$ $$D=25+4\cdot 14=81,\sqrt{D}=9.$$

$$D = 25 + 4 \cdot 14 = 81, \quad \sqrt{D} = 9.$$ $$y_1=\frac{-5-9}{2}=-7,y_2=\frac{-5+9}{2}=2;$$

$$y_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \quad y_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2;$$ $$x_1 = 5 — 7 = -2, \quad x_2 = 5 + 2 = 7.$$

Ответ: $(-2; -7)$; $(7; 2)$.

7.

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 2 — y \\ (2 — y)^2 + y^2 = 10 \end{cases}$$

$$4 — 4y + y^2 + y^2 — 10 = 0$$ $$2y^2-4y-6=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2y^2 — 4y — 6 = 0 \quad | : 2$$ $$y^2-2y-3=0$$

$$y^2 — 2y — 3 = 0$$ $$D=1+3=4,\sqrt{D}=2.$$

$$D = 1 + 3 = 4, \quad \sqrt{D} = 2.$$ $$y_1=1-2=-1,y_2=1+2=3;$$

$$y_1 = 1 — 2 = -1, \quad y_2 = 1 + 2 = 3;$$ $$x_1 = 2 — (-1) = 3, \quad x_2 = 2 — 3 = -1.$$

Ответ: $(3; -1)$; $(-1; 3)$.

8.

$$\begin{cases} 3x — y = 2 \\ 2x — y = 3 \end{cases} \quad \begin{cases} y = 3x — 2 \\ y = 2x — 3 \end{cases}$$ $$3x — 2 = 2x — 3$$ $$3x — 2x = -3 + 2$$ $$x = -1.$$ $$y = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5.$$

Ответ: $(-1; -5)$.

9.

$$\begin{cases} y = 2 + x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \quad \begin{cases} y = 2 + x \\ x^2 + (2 + x)^2 = 10 \end{cases}$$ $$x^2+4+4x+x^2-10=0$$

$$x^2 + 4 + 4x + x^2 — 10 = 0$$ $$2x^2+4x-6=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2 + 4x — 6 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2+2x-3=0$$

$$x^2 + 2x — 3 = 0$$ $$D=1+3=4,\sqrt{D}=2.$$

$$D = 1 + 3 = 4, \quad \sqrt{D} = 2.$$ $$x_1=-1-2=-3,x_2=-1+2=1;$$

$$x_1 = -1 — 2 = -3, \quad x_2 = -1 + 2 = 1;$$ $$y_1 = 2 — 3 = -1, \quad y_2 = 2 + 1 = 3.$$

Ответ: $(-3; -1)$; $(1; 3)$.

10.

Пусть карандаш стоит $x$ руб., а авторучка стоит $y$ руб.
Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 5y = 50 \quad | \cdot 2 \\ 6x + 3y = 51 \end{cases} \quad \begin{cases} 6x + 10y = 100 \\ 6x + 3y = 51 \end{cases} \quad \begin{cases} 7y = 49 \\ 3x + 5y = 50 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 7 \\ 3x = 50 — 5 \cdot 7 \end{cases} \quad \begin{cases} y = 7 \\ 3x = 15 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 5 \\ y = 7 \end{cases}.$$

Ответ: 5 руб. стоит карандаш и 7 руб. — авторучка.

11.

Пусть длина прямоугольника $a$ см, а ширина $b$ см.
Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 24 \\ 2(a + b) = 20 \end{cases} \quad \begin{cases} ab = 24 \\ a + b = 10 \end{cases} \quad \begin{cases} a = 10 — b \\ (10 — b)b = 24 \end{cases}$$ $$10b-b^2-24=0$$

$$10b — b^2 — 24 = 0$$ $$b^2-10b+24=0$$

$$b^2 — 10b + 24 = 0$$ $$D=25-24=1.$$

$$D = 25 — 24 = 1.$$ $$b_1=5-1=4,b_2=5+1=6.$$

$$b_1 = 5 — 1 = 4, \quad b_2 = 5 + 1 = 6.$$ $$a_1 = 10 — 4 = 6, \quad a_2 = 10 — 6 = 4.$$

Ответ: 6 см длина прямоугольника и 4 см его ширина.

1. Найдите какие-нибудь два решения уравнения $7x + 2y = 14$.
Уравнение $7x + 2y = 14$ можно решить относительно $y$, выразив его через $x$:

$$2y = 14 — 7x$$ $$y = -\frac{7}{2}x + 7$$

Теперь подставим различные значения для $x$ и находим $y$:
При $x = 0$:

$$y = -\frac{7}{2}(0) + 7 = 7$$

Ответ: $(0; 7)$
При $x = 2$:

$$y = -\frac{7}{2}(2) + 7 = -7 + 7 = 0$$

Ответ: $(2; 0)$

2. Является ли решением уравнения $xy — x = 18$ пара чисел: $(-3; -5)$, $(2; 10)$?
Подставим $(-3; -5)$ в уравнение $xy — x = 18$:

$$(-3)(-5) — (-3) = 15 + 3 = 18$$

Ответ: да, $(-3; -5)$ является решением.
Подставим $(2; 10)$ в уравнение $xy — x = 18$:

$$(2)(10) — 2 = 20 — 2 = 18$$

Ответ: да, $(2; 10)$ является решением.

3. Проходит ли прямая $3x — 4y = 48$ через точку $A(20; 2)$? через точку $B(24; 6)$?
Подставим точку $A(20; 2)$ в уравнение $3x — 4y = 48$:

$$3(20) — 4(2) = 60 — 8 = 52 \neq 48$$

Ответ: не проходит через точку $A(20; 2)$.
Подставим точку $B(24; 6)$ в уравнение $3x — 4y = 48$:

$$3(24) — 4(6) = 72 — 24 = 48$$

Ответ: проходит через точку $B(24; 6)$.

4. Вычислите координаты точек пересечения прямой $4x — 5y = 10$ с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью $x$, $y = 0$:

$$4x — 5(0) = 10 \quad \Rightarrow \quad 4x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{4} = 2.5$$

Ответ: точка пересечения с осью $x$ — $(2.5; 0)$.
Для нахождения точки пересечения с осью $y$, $x = 0$:

$$4(0) — 5y = 10 \quad \Rightarrow \quad -5y = 10 \quad \Rightarrow \quad y = -2$$

Ответ: точка пересечения с осью $y$ — $(0; -2)$.

5. Постройте график уравнения:
а) $9x — 3y = 6$
Преобразуем уравнение в вид $y = kx + b$:

$$9x — 3y = 6 \quad \Rightarrow \quad -3y = -9x + 6 \quad \Rightarrow \quad y = 3x — 2$$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = 3$ и ординатой точки пересечения с осью $y$ $b = -2$.
б) $y = -4x + 2$
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -4$ и ординатой точки пересечения с осью $y$ $b = 2$.
в) $y = \frac{1}{3}x$
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$ и ординатой точки пересечения с осью $y$ $b = 0$.
г) $y = -x$
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -1$ и ординатой точки пересечения с осью $y$ $b = 0$.
д) $y = -5$
Это горизонтальная прямая, где $y = -5$ для всех значений $x$.
е) $x = 4$
Это вертикальная прямая, где $x = 4$ для всех значений $y$.

6. Решите систему уравнений:
а)
$\begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x — y = 7 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = 3x — 7$$

Подставим это в первое уравнение:

$$5x + 2(3x — 7) = 8 \quad \Rightarrow \quad 5x + 6x — 14 = 8 \quad \Rightarrow \quad 11x = 22 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Подставим $x = 2$ в $y = 3x — 7$:

$$y = 3(2) — 7 = 6 — 7 = -1$$

Ответ: $(2; -1)$

б)
$\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, а второе — на 4:

$$\begin{cases} 6x + 8y = 26 \\ 20x + 8y = 68 \end{cases}$$

Вычитаем эти уравнения:

$$(20x + 8y) — (6x + 8y) = 68 — 26 \quad \Rightarrow \quad 14x = 42 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Подставим $x = 3$ в первое уравнение:

$$3(3) + 4y = 13 \quad \Rightarrow \quad 9 + 4y = 13 \quad \Rightarrow \quad 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Ответ: $(3; 1)$

в)
$\begin{cases} x — y = 5 \\ xy = 14 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x = y + 5$. Подставим это во второе уравнение:

$$(y + 5)y = 14 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 5y = 14 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 5y — 14 = 0$$

Решим это квадратное уравнение по формуле:

$$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 — 4(1)(-14)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}$$

Таким образом, $y = 2$ или $y = -7$.
Подставим $y = 2$ в $x = y + 5$:

$$x = 2 + 5 = 7$$

Подставим $y = -7$ в $x = y + 5$:

$$x = -7 + 5 = -2$$

Ответ: $(7; 2)$ и $(-2; -7)$

7. Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases}$$

Это уравнение требует графического решения, где пересечение круга и прямой даёт решение системы.

8. Вычислите координаты точки пересечения прямых $3x — y = 2$ и $2x — y = 3$.
Из первого уравнения выразим $y = 3x — 2$, подставим это во второе уравнение:

$$2x — (3x — 2) = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x — 3x + 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad -x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Подставим $x = -1$ в $y = 3x — 2$:

$$y = 3(-1) — 2 = -3 — 2 = -5$$

Ответ: $(-1; -5)$

9. Вычислите координаты точки пересечения прямой $y = 2 + x$ и окружности $x^2 + y^2 = 10$.
Подставим $y = 2 + x$ в уравнение окружности:

$$x^2 + (2 + x)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 + (4 + 4x + x^2) = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 4x — 6 = 0$$

Решим это квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 3)(x — 1) = 0$$

Таким образом, $x = -3$ или $x = 1$.
Для $x = -3$, $y = 2 + (-3) = -1$.
Для $x = 1$, $y = 2 + 1 = 3$.
Ответ: $(-3; -1)$ и $(1; 3)$

10. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?
Пусть цена карандаша $x$, а цена авторучки $y$. Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 5y = 50 \\ 6x + 3y = 51 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2 и вычитаем из второго:

$$\begin{cases} 6x + 10y = 100 \\ 6x + 3y = 51 \end{cases}$$

Вычитаем:

$$7y = 49 \quad \Rightarrow \quad y = 7$$

Подставим $y = 7$ в первое уравнение:

$$3x + 5(7) = 50 \quad \Rightarrow \quad 3x + 35 = 50 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Ответ: карандаш стоит 5 р., авторучка — 7 р.

11. Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна $24 \, \text{см}^2$, а периметр равен $20 \, \text{см}$.
Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$. Тогда:
Площадь:

$$a \cdot b = 24$$

Периметр:

$$2a + 2b = 20 \quad \Rightarrow \quad a + b = 10$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a \cdot b = 24 \\ a + b = 10 \end{cases}$$

Подставим $b = 10 — a$ в первое уравнение:

$$a(10 — a) = 24 \quad \Rightarrow \quad 10a — a^2 = 24 \quad \Rightarrow \quad a^2 — 10a + 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$a = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 96}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2}$$

Таким образом, $a = 6$ или $a = 4$.
Если $a = 6$, то $b = 4$.
Если $a = 4$, то $b = 6$.
Ответ: стороны прямоугольника — 4 см и 6 см.