ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 718 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько граммов арахиса по цене 12,5 р. за 100 г и сколько граммов лесных орехов по цене 30 р. за 100 г надо смешать, чтобы получить 700 г смеси по цене 20 р. за 100 г?

Пусть надо смешать $x$ г арахиса и $y$ г лесных орехов.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 700 \\ 12.5x + 30y = 700 \cdot 20 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x + y = 700 & | : 12.5 \\ 1.4y = 420 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x + y = 700 \\ x + 2.4 = 1120 \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} y = 300 \\ x = 700 — 300 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 400 \\ y = 300 \end{cases}$$

Ответ: 400 г арахиса и 300 г лесных орехов.

Постановка задачи:

Необходимо смешать $x$ граммов арахиса и $y$ граммов лесных орехов.

Заданы следующие уравнения для $x$ и $y$:

$$\begin{cases} x + y = 700 \\ 12.5x + 30y = 700 \cdot 20 \end{cases}$$

где:

• $x$ — количество арахиса в граммах,
• $y$ — количество лесных орехов в граммах.

Шаг 1: Упростим второе уравнение

Первое уравнение:

$$x + y = 700$$

Это уравнение выражает, что сумма массы арахиса и лесных орехов равна 700 граммам.

Теперь второе уравнение:

$$12.5x + 30y = 700 \cdot 20$$

Выполним умножение:

$$12.5x + 30y = 14000$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} x + y = 700 \\ 12.5x + 30y = 14000 \end{cases}$$

Шаг 2: Упростим систему уравнений

Из первого уравнения:

$$x + y = 700$$

Выразим $x$ через $y$:

$$x = 700 — y$$

Шаг 3: Подставим выражение для $x$ во второе уравнение

Теперь подставим выражение для $x$ из первого уравнения $x = 700 — y$ во второе уравнение:

$$12.5(700 — y) + 30y = 14000$$

Шаг 4: Раскроем скобки

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$12.5 \cdot 700 — 12.5 \cdot y + 30y = 14000$$ $$8750 — 12.5y + 30y = 14000$$

Шаг 5: Соберем все члены с $y$ и без $y$

Соберем все подобные члены:

$$8750 + (30y — 12.5y) = 14000$$ $$8750 + 17.5y = 14000$$

Шаг 6: Изолируем $y$

Теперь перенесем 8750 в правую часть:

$$17.5y = 14000 — 8750$$ $$17.5y = 5250$$

Шаг 7: Решим для $y$

Теперь разделим обе части уравнения на 17.5:

$$y = \frac{5250}{17.5}$$ $$y = 300$$

Таким образом, мы нашли, что $y = 300$.

Шаг 8: Найдем $x$

Теперь, зная значение $y = 300$, подставим его в выражение для $x$:

$$x = 700 — 300$$ $$x = 400$$

Шаг 9: Проверка решения

Проверим, что найденные значения $x = 400$ и $y = 300$ удовлетворяют обоим уравнениям исходной системы.

Подставим $x = 400$ и $y = 300$ в первое уравнение:

$$x+y=700$$

$$x + y = 700$$ $$400 + 300 = 700$$

Это уравнение выполнено.

Подставим $x = 400$ и $y = 300$ во второе уравнение:

$$12.5x+30y=14000$$

$$12.5x + 30y = 14000$$ $$12.5\cdot 400+30\cdot 300=14000$$

$$12.5 \cdot 400 + 30 \cdot 300 = 14000$$ $$5000 + 9000 = 14000$$

Это уравнение также выполнено.