ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 712 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а)

$$\begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ 13x + 17y = 50 \end{cases} + \begin{cases} 30x + 30y = 90 \\ 17x + 13y = 40 \end{cases} — \begin{cases} x + y = 3 \\ 17x + 13y = 40 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 13x + 13y = 39 \\ 17x + 13y = 40 \end{cases} — \begin{cases} 4x = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{1}{4} \\ y = 3 — \frac{1}{4} \end{cases}$$

Ответ: $x = \frac{1}{4}; \, y = 2 \frac{3}{4}$.

б)

$$\begin{cases} 12x — 19y = 10 \\ 18x — 11y = 50 \end{cases} + \begin{cases} 30x — 30y = 60 \\ 12x — 19y = 10 \end{cases} — \begin{cases} x — y = 2 \\ 12x — 19y = 10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 12x — 12y = 24 \\ 12x — 19y = 10 \end{cases} — \begin{cases} 7y = 14 \\ x — y = 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 2 \\ x = 2 + 2 \end{cases}$$

Ответ: $x = 4; \, y = 2$.

в)

$$\begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 14x — 10y = -34 \end{cases} + \begin{cases} 25x + 25y = 25 \\ 11x + 35y = 59 \end{cases} — \begin{cases} x + y = 1 \\ 11x + 35y = 59 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 11x + 11y = 11 \\ 11x + 35y = 59 \end{cases} — \begin{cases} 24y = 48 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 2 \\ x = 1 — 2 \end{cases}$$

Ответ: $x = -1; \, y = 2$.

г)

$$\begin{cases} 16x — 17y = 49 \\ 14x + 47y = -19 \end{cases} + \begin{cases} 30x + 30y = 30 \\ 16x — 17y = 49 \end{cases} — \begin{cases} x + y = 1 \\ 16x — 17y = 49 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 17x + 17y = 17 \\ 16x — 17y = 49 \end{cases} + \begin{cases} 33x = 66 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 — 2 \end{cases}$$

Ответ: $x = 2; \, y = -1$.

а)

Шаг 1. Сложим эти два уравнения:

$$(17x + 13y) + (13x + 17y) = 40 + 50 \Rightarrow 30x + 30y = 90 \tag{3}$$

Шаг 2. Возьмём уравнение (1) и запишем ещё раз:

$$17x + 13y = 40 \tag{1}$$

Шаг 3. Теперь из уравнений (3) и (1) вычтем (1) из (3):

$$(30x + 30y) — (17x + 13y) = 90 — 40 \\ 13x + 17y = 50 \tag{4}$$

Шаг 4. Теперь составим систему из уравнений (4) и (1):

$$\begin{cases} 13x + 17y = 50 \\ 17x + 13y = 40 \end{cases}$$

Шаг 5. Попробуем решить систему методом сложения.
Сначала выразим всё так, чтобы можно было исключить переменную.

Для этого умножим оба уравнения:

• первое на 13:

$$13(13x + 17y) = 13 \cdot 50 \Rightarrow 169x + 221y = 650 \tag{5}$$

• второе на 17:

$$17(17x + 13y) = 17 \cdot 40 \Rightarrow 289x + 221y = 680 \tag{6}$$

Теперь вычтем (5) из (6):

$$(289x + 221y) — (169x + 221y) = 680 — 650 \\ 120x = 30 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$

Шаг 6. Подставим найденное значение $x = \frac{1}{4}$ в уравнение:

$$x + y = 3 \Rightarrow \frac{1}{4} + y = 3 \Rightarrow y = 3 — \frac{1}{4} = \frac{12}{4} — \frac{1}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{4}; \quad y = 2\frac{3}{4}$$

б)

Шаг 1. Вычтем (1) из (3):

$$(30x — 30y) — (12x — 19y) = 60 — 10 \\ (30x — 12x) + (-30y + 19y) = 50 \\ 18x — 11y = 50 \tag{4}$$

Теперь у нас:

$$\begin{cases} 18x — 11y = 50 \\ 12x — 19y = 10 \end{cases}$$

Шаг 2. Умножим:

• первую строку на 12:

$$12(18x — 11y) = 216x — 132y \tag{5}$$

• вторую строку на 18:

$$18(12x — 19y) = 216x — 342y \tag{6}$$

Вычтем (5) из (6):

$$(216x — 342y) — (216x — 132y) = 180x — 210y = 0x — 210y = -210y \\ -342y + 132y = -210y \Rightarrow -210y = -60 \Rightarrow y = \frac{60}{210} = \frac{2}{7} \quad \text{(что противоречит ниже, значит: ошибка)}$$

Значит проще идти другим способом.

Шаг 4. Возьмём разность:

$$\text{Пусть: } x — y = 2 \tag{7}$$

Тогда $x = y + 2$

Подставим в уравнение (1):

$$12x — 19y = 10 \\ 12(y + 2) — 19y = 10 \Rightarrow 12y + 24 — 19y = 10 \\ -7y = -14 \Rightarrow y = 2$$

Подставим в (7):

$$x = y + 2 = 2 + 2 = 4$$

Ответ:

$$x = 4; \quad y = 2$$

в)

Шаг 1. Вычтем (1) из (3):

$$(25x + 25y) — (11x + 35y) = 25 — 59 \\ 14x — 10y = -34 \tag{4}$$

Это то же, что и уравнение (2), значит корректно.

Шаг 2. Теперь берём:

$$x + y = 1 \tag{5} \Rightarrow x = 1 — y$$

Подставим в (1):

$$11x + 35y = 59 \Rightarrow 11(1 — y) + 35y = 59 \\ 11 — 11y + 35y = 59 \Rightarrow 24y = 48 \Rightarrow y = 2$$

Подставим в (5):

$$x = 1 — 2 = -1$$

Ответ:

$$x = -1; \quad y = 2$$

г)

Шаг 1. Вычтем (1) из (2):

$$(30x + 30y) — (16x — 17y) = 30 — 49 \\ (30x — 16x) + (30y + 17y) = -19 \Rightarrow 14x + 47y = -19 \tag{4}$$

Это совпадает с уравнением (2), значит корректно.

Шаг 2. Возьмём новое уравнение:

$$x + y = 1 \tag{5} \Rightarrow x = 1 — y$$

Подставим в (1):

$$16x — 17y = 49 \Rightarrow 16(1 — y) — 17y = 49 \\ 16 — 16y — 17y = 49 \Rightarrow -33y = 33 \Rightarrow y = -1$$

Подставим в (5):

$$x = 1 — (-1) = 2$$

Ответ:

$$x = 2; \quad y = -1$$