ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 693 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Четыре точки заданы своими координатами: A (-5;6); B (7;2); C (5;1); D (-4;4). Определите, параллельны ли прямые:
а) AB и CD; б) BC и AD.

А $(-5; 6)$; В $(7; 2)$; С $(5; 1)$; D $(-4; 4)$.

а) А $(-5; 6)$; В $(7; 2)$:

$$\begin{cases} 6 = -5k + l \\ 2 = 7k + l \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6 = -5k + l \\ 2 = 7k + l \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -12k = 4 \\ l = 2 — 7 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = -\frac{1}{3} \\ l = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \end{cases}.$$

Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 4\frac{1}{3}$.

Следующая пара точек:

С $(5; 1)$; D $(-4; 4)$:

$$\begin{cases} 1 = 5k + l \\ 4 = -4k + l \end{cases}$$ $$\begin{cases} 1 = 5k + l \\ 4 = -4k + l \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9k = -3 \\ l = 1 — 5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = -\frac{1}{3} \\ l = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \end{cases}.$$

Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 2\frac{2}{3}$.

Следовательно, прямые АВ и CD — параллельны $\left(k_1 = k_2 = -\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: параллельны.

б) В $(7; 2)$; С $(5; 1)$:

$$\begin{cases} 2 = 7k + l \\ 1 = 5k + l \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2 = 7k + l \\ 1 = 5k + l \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2k = 1 \\ l = 1 — 5 \cdot \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = \frac{1}{2} \\ l = -\frac{3}{2} = -1.5 \end{cases}.$$

Уравнение: $y = 0.5x — 1.5$.

Следующая пара точек:

А $(-5; 6)$; D $(-4; 4)$:

$$\begin{cases} 6 = -5k + l \\ 4 = -4k + l \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6 = -5k + l \\ 4 = -4k + l \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -k = 2 \\ l = 4 + 4 \cdot (-2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = -2 \\ l = -4 \end{cases}.$$

Уравнение: $y = -2x — 4$.

Следовательно, прямые ВС и AD — не параллельны $\left(k_1 \neq k_2; \, 0.5 \neq -2\right)$.

Ответ: не параллельны.

а) Найдем уравнение прямой через точки А $(-5; 6)$ и В $(7; 2)$.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки, воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента $k$:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}$$

где $(x_1, y_1) = (-5, 6)$ и $(x_2, y_2) = (7, 2)$.

Вычислим угловой коэффициент $k$:

$$k = \frac{2 — 6}{7 — (-5)} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Теперь, имея угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$, подставим одну из точек, например, точку A $(-5; 6)$, в уравнение прямой $y = kx + l$ для нахождения свободного члена $l$.

Подставим $x = -5$ и $y = 6$ в уравнение:

$$6 = -\frac{1}{3}(-5) + l$$ $$6 = \frac{5}{3} + l$$

Теперь выразим $l$:

$$l = 6 — \frac{5}{3} = \frac{18}{3} — \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$$

Итак, $l = \frac{13}{3}$.

Теперь у нас есть уравнение прямой:

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$$

Ответ для: Уравнение прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$.

Найдем уравнение прямой через точки С $(5; 1)$ и D $(-4; 4)$.

Используем ту же самую процедуру для нахождения углового коэффициента и свободного члена. У нас есть две точки: $(x_1, y_1) = (5, 1)$ и $(x_2, y_2) = (-4, 4)$.

Вычислим угловой коэффициент $k$:

$$k = \frac{4 — 1}{-4 — 5} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$$

Теперь, подставим одну из точек, например, точку С $(5; 1)$, в уравнение прямой $y = kx + l$ для нахождения свободного члена $l$.

Подставим $x = 5$ и $y = 1$ в уравнение:

$$1=-\frac{1}{3}(5)+l$$

$$1 = -\frac{1}{3}(5) + l$$ $$1 = -\frac{5}{3} + l$$

Теперь выразим $l$:

$$l = 1 + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$$

Итак, $l = \frac{8}{3}$.

Теперь у нас есть уравнение прямой:

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$$

Ответ для: Уравнение прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$.

Проверка на параллельность прямых:

Теперь, когда мы нашли уравнения прямых для пар точек АВ и СD, можем проверить, параллельны ли эти прямые. Прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ равны.

Угловой коэффициент прямой АВ: $k_1 = -\frac{1}{3}$.

Угловой коэффициент прямой CD: $k_2 = -\frac{1}{3}$.

Поскольку $k_1 = k_2$, прямые АВ и CD параллельны.

Ответ: параллельны.

б) Найдем уравнение прямой через точки В $(7; 2)$ и С $(5; 1)$.

Теперь повторим те же шаги для прямой, проходящей через точки В и С.

Для вычисления углового коэффициента $k$, подставим $(x_1, y_1) = (7, 2)$ и $(x_2, y_2) = (5, 1)$:

$$k = \frac{1 — 2}{5 — 7} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$

Теперь, подставим точку В $(7; 2)$ в уравнение $y = kx + l$ для нахождения свободного члена $l$.

Подставим $x = 7$ и $y = 2$ в уравнение:

$$2=\frac{1}{2}(7)+l$$

$$2 = \frac{1}{2}(7) + l$$ $$2 = \frac{7}{2} + l$$

Теперь выразим $l$:

$$l = 2 — \frac{7}{2} = \frac{4}{2} — \frac{7}{2} = -\frac{3}{2}$$

Итак, $l = -\frac{3}{2}$.

Теперь у нас есть уравнение прямой:

$$y = \frac{1}{2}x — \frac{3}{2}$$

Ответ для: Уравнение прямой $y = \frac{1}{2}x — \frac{3}{2}$.

Найдем уравнение прямой через точки А $(-5; 6)$ и D $(-4; 4)$.

Теперь вычислим уравнение прямой, проходящей через точки А и D.

Для вычисления углового коэффициента $k$, подставим $(x_1, y_1) = (-5, 6)$ и $(x_2, y_2) = (-4, 4)$:

$$k = \frac{4 — 6}{-4 — (-5)} = \frac{-2}{1} = -2$$

Теперь, подставим точку А $(-5; 6)$ в уравнение $y = kx + l$ для нахождения свободного члена $l$.

Подставим $x = -5$ и $y = 6$ в уравнение:

$$6 = -2(-5) + l$$ $$6 = 10 + l$$

Теперь выразим $l$:

$$l = 6 — 10 = -4$$

Итак, $l = -4$.

Теперь у нас есть уравнение прямой:

$$y = -2x — 4$$

Ответ для: Уравнение прямой $y = -2x — 4$.