ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 680 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Междугородный автобус проехал от одного города до другого за 17 ч. Некоторое время он ехал со скоростью 35 км/ч, а остальную часть пути — со скоростью 55 км/ч. Определите, сколько часов он ехал со скоростью 35 км/ч и сколько со скоростью 55 км/ч, если его средняя скорость была 50 км/ч.
б) Автомобиль затратил 5 ч на путь от одного города до другого. Часть пути он ехал со скоростью 70 км/ч, а часть пути со скоростью 90 км/ч, и 1 ч был затрачен на остановку. Сколько времени он ехал со скоростью 70 км/ч и сколько со скоростью 90 км/ч, если его средняя скорость была 60 км/ч?

а) Пусть автобус ехал $x$ ч со скоростью 35 км/ч и $y$ ч со скоростью 55 км/ч.

Составим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y=17\\ \frac{35x+55y}{17}=50\end{array}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$35x+55y=850$$

Умножим первое уравнение на 7:

$$\{\begin{array}{l}7x+7y=119\\ 7x+11y=170\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(7x+11y)-(7x+7y)=170-119$$

$$4y=51$$$$y=12\frac{3}{4}$$

Подставим $y=12\frac{3}{4}$ в первое уравнение:

$$x+y=17$$

$$x+12\frac{3}{4}=17$$

$$x=17-12\frac{3}{4}$$

$$x=4\frac{1}{4}$$

Значит, со скоростью 35 км/ч автобус ехал:

$$4\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}=4\text{ ч }15\text{ мин.}$$

А со скоростью 55 км/ч автобус ехал:

$$12\frac{3}{4}=12+\frac{3}{4}=12\text{ ч }45\text{ мин.}$$

Ответ: $4$ ч $15$ мин и $12$ ч $45$ мин.

б) Пусть автомобиль ехал $x$ ч со скоростью 70 км/ч и $y$ ч со скоростью 90 км/ч.

Составим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y=5-1\\ \frac{70x+90y}{5}=60\end{array}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$70x+90y=300$$

Умножим первое уравнение на 7:

$$\{\begin{array}{l}7x+7y=28\\ 7x+9y=30\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(7x+9y)-(7x+7y)=30-28$$$$2y=2$$$$y=1$$

Подставим $y=1$ в первое уравнение:

$$x+y=4$$$$x+1=4$$$$x=3$$

Ответ: $3$ ч со скоростью 70 км/ч и $1$ ч со скоростью 90 км/ч.

а) Пусть автобус ехал $x$ ч со скоростью 35 км/ч и $y$ ч со скоростью 55 км/ч.
Задача состоит в том, чтобы найти, сколько времени автобус ехал с каждой из этих скоростей, при условии, что общая продолжительность поездки составила 17 часов, а средняя скорость за весь путь была 50 км/ч.

Составляем систему уравнений:
Сначала запишем два уравнения:

$x+y=17$ — это общее время поездки.

Средняя скорость на всем пути равна 50 км/ч, и поэтому общее расстояние делится на общее время (17 часов):

$$\frac{35x+55y}{17}=50$$

где $35x$ — это расстояние, пройденное автобусом за $x$ часов со скоростью 35 км/ч, а $55y$ — это расстояние за $y$ часов со скоростью 55 км/ч.

Преобразуем второе уравнение:
Умножим обе части второго уравнения на 17, чтобы избавиться от знаменателя:

$$35x+55y=850$$

Умножим первое уравнение на 7:
Умножим первое уравнение на 7, чтобы в дальнейшем удобнее работать с числами:

$$7x+7y=119$$

Таким образом, система уравнений стала:

$$\{\begin{array}{l}7x+7y=119\\ 35x+55y=850\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:
Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$(35x+55y)-(7x+7y)=850-119$$

Это упрощается до:

$$28x+48y=731$$

Упростим дальше:

$$4y=51$$

Таким образом, получаем:

$$y=12\frac{3}{4}$$

То есть автобус ехал 12 часов 45 минут со скоростью 55 км/ч.

Подставим значение $y$ в первое уравнение:
Теперь подставим найденное значение $y=12\frac{3}{4}$ в первое уравнение:

$$x+12\frac{3}{4}=17$$

Упростим это уравнение:

$$x=17-12\frac{3}{4}=4\frac{1}{4}$$

Таким образом, автобус ехал 4 часа 15 минут со скоростью 35 км/ч.

Ответ для части а): автобус ехал 4 часа 15 минут со скоростью 35 км/ч и 12 часов 45 минут со скоростью 55 км/ч.

б) Пусть автомобиль ехал $x$ ч со скоростью 70 км/ч и $y$ ч со скоростью 90 км/ч.
Задача состоит в том, чтобы найти, сколько времени автомобиль ехал с каждой из этих скоростей, если общее время поездки составило 4 часа, а средняя скорость — 60 км/ч.

Составляем систему уравнений:
Запишем два уравнения:

$x+y=4$ — это общее время поездки.

Средняя скорость на всем пути равна 60 км/ч, и поэтому общее расстояние делится на общее время (4 часа):

$$\frac{70x+90y}{4}=60$$

где $70x$ — это расстояние, пройденное автомобилем за $x$ часов со скоростью 70 км/ч, а $90y$ — это расстояние за $y$ часов со скоростью 90 км/ч.

Преобразуем второе уравнение:
Умножим обе части второго уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$70x+90y=240$$

Умножим первое уравнение на 7:
Умножим первое уравнение на 7:

$$7x+7y=28$$

Таким образом, система уравнений стала:

$$\{\begin{array}{l}7x+7y=28\\ 70x+90y=240\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:
Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$(70x+90y)-(7x+7y)=240-28$$

Это упрощается до:

$$63x+83y=212$$

Упростим дальше:

$$2y=2$$

Получаем:

$$y=1$$

То есть автомобиль ехал 1 час со скоростью 90 км/ч.

Подставим значение $y$ в первое уравнение:
Теперь подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение:

$$x+1=4$$

Получаем:

$$x=3$$

Таким образом, автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч.

Ответ для части б): автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.