ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 675 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Туристический маршрут от снации к озеру идет сначала в гору, а затем с горы. При подъеме туристы идут со скоростью 3 км/ч, а при спуске — 6 км/ч. Путь от станции к оезру занимает 3,5 ч, а обратный путь — 4 ч. Найдите длину маршрута.

Пусть расстояние в гору $x$ км, а с горы — $y$ км. Тогда, на путь к озеру турист затратил $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5$ ч, а на обратный путь $\frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4$ ч.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5 & | \cdot 6 \\ \frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4 & | \cdot 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x + y = 21 \\ 2y + x = 24 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x + y = 21 & | \cdot 2 \\ 2y + x = 24 & | \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4x + 2y = 42 \\ 2y + x = 24 \end{cases} — \begin{cases} 3y = 27 \\ 2y + x = 24 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 9 \\ x = 24 — 2 \cdot 9 \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 9 \\ x = 6 \end{cases}$$

Длина маршрута:

$$x + y = 6 + 9 = 15 \quad (\text{км}).$$

Ответ: 15 км.

Шаг 1: Составим систему уравнений

Мы имеем два уравнения, описывающих время в пути:

На путь к озеру:

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5$$

На обратный путь:

$$\frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4$$

Шаг 2: Умножим оба уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей

Для первого уравнения:

$$\left( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3,5 \right) \times 6$$

Получаем:

$$2x + y = 21$$

Для второго уравнения:

$$\left( \frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4 \right) \times 6$$

Получаем:

$$2y + x = 24$$

Теперь наша система выглядит так:

$$\begin{cases} 2x + y = 21 \\ 2y + x = 24 \end{cases}$$

Шаг 3: Умножим первое уравнение на 2, чтобы упростить систему

Умножим первое уравнение на 2:

$$(2x + y = 21) \times 2$$

Получаем:

$$4x + 2y = 42$$

Теперь система уравнений выглядит так:

$$\begin{cases} 4x + 2y = 42 \\ 2y + x = 24 \end{cases}$$

Шаг 4: Вычитаем второе уравнение из первого

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$(4x + 2y) — (2y + x) = 42 — 24$$

Получаем:

$$3x = 18$$

Решаем это уравнение:

$$x = \frac{18}{3} = 6$$

Шаг 5: Подставляем значение $x = 6$ в одно из уравнений

Теперь подставим $x = 6$ в одно из исходных уравнений. Используем уравнение $2x + y = 21$:

$$2 \cdot 6 + y = 21$$

Получаем:

$$12 + y = 21 \quad \Rightarrow \quad y = 21 — 12 = 9$$

Шаг 6: Вычисление длины маршрута

Теперь, когда мы нашли $x = 6$ и $y = 9$, можем вычислить длину маршрута:

$$x + y = 6 + 9 = 15 \quad (\text{км})$$

Ответ:

Длина маршрута составляет 15 км.