ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 674 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Периметр прямоугольника 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его периметр равен 30 см. Найдите катеты треугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ см и $b$ см. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = 10^2$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 2(a + b) = 28 & | : 2 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$$

$$a = 14 — b$$

$$(14 — b)^2 + b^2 = 100$$

$$196 — 28b + b^2 + b^2 — 100 = 0$$

$$2b^2 — 28b + 96 = 0 \quad | : 2$$

$$b^2 — 14b + 48 = 0$$

$$D = 49 — 48 = 1$$

$$b_1 = 7 — 1 = 6, \quad b_2 = 7 + 1 = 8;$$

$$a_1 = 14 — 6 = 8, \quad a_2 = 14 — 8 = 6.$$

Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} a^2 + b^2 = 13^2 \\ a + b + 13 = 30 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ a + b = 17 \end{cases}$$

$$a = 17 — b$$

$$(17 — b)^2 + b^2 = 169$$

$$289 — 34b + b^2 + b^2 = 169$$

$$2b^2 — 34b + 120 = 0 \quad | : 2$$

$$b^2 — 17b + 60 = 0$$

$$D = 289 — 4 \cdot 60 = 289 — 240 = 49 \quad (\sqrt{49} = 7)$$

$$b_1 = \frac{17 — 7}{2} = 5, \quad b_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12;$$

$$a_1 = 17 — 5 = 12, \quad a_2 = 17 — 12 = 5.$$

Ответ: 5 см и 12 см.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ см и $b$ см. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = 10^2$.

Шаг 1: Составляем систему уравнений

У нас есть два условия:

$ab = 720$ — площадь прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $2(a + b) = 28$, что можно упростить:

$$a + b = 14$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$$

Шаг 2: Выражаем $a$ через $b$

Из первого уравнения:

$$a + b = 14 \quad \Rightarrow \quad a = 14 — b$$

Шаг 3: Подставляем $a = 14 — b$ во второе уравнение

Подставим $a = 14 — b$ в уравнение $a^2 + b^2 = 100$:

$$(14 — b)^2 + b^2 = 100$$

Раскроем скобки:

$$196 — 28b + b^2 + b^2 = 100$$

Упростим:

$$196 — 28b + 2b^2 = 100$$

Переносим все в одну сторону:

$$2b^2 — 28b + 96 = 0$$

Шаг 4: Упрощаем квадратное уравнение

Разделим на 2:

$$b^2 — 14b + 48 = 0$$

Шаг 5: Находим дискриминант

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -14$, $c = 48$:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения:

$$b_1, b_2 = \frac{-(-14) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 2}{2}$$

Получаем два корня:

$$b_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6, \quad b_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8$$

Шаг 7: Находим значения для $a$

Теперь, зная $b_1 = 6$ и $b_2 = 8$, находим соответствующие значения для $a$:

$$a_1 = 14 — 6 = 8, \quad a_2 = 14 — 8 = 6$$

Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см.

Шаг 1: Составляем систему уравнений

У нас есть два условия:

$a^2 + b^2 = 13^2$, что означает, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см.

$a + b + 13 = 30$, что можно упростить:

$$a + b = 17$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$$

Шаг 2: Выражаем $a$ через $b$

Из первого уравнения:

$$a + b = 17 \quad \Rightarrow \quad a = 17 — b$$

Шаг 3: Подставляем $a = 17 — b$ во второе уравнение

Подставим $a = 17 — b$ в уравнение $a^2 + b^2 = 169$:

$$(17 — b)^2 + b^2 = 169$$

Раскроем скобки:

$$289 — 34b + b^2 + b^2 = 169$$

Упростим:

$$289 — 34b + 2b^2 = 169$$

Переносим все в одну сторону:

$$2b^2 — 34b + 120 = 0$$

Шаг 4: Упрощаем квадратное уравнение

Разделим на 2:

$$b^2 — 17b + 60 = 0$$

Шаг 5: Находим дискриминант

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -17$, $c = 60$:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 — 240 = 49$$ $$\sqrt{49} = 7$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения:

$$b_1, b_2 = \frac{-(-17) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 7}{2}$$

Получаем два корня:

$$b_1 = \frac{17 — 7}{2} = 5, \quad b_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12$$

Шаг 7: Находим значения для $a$

Теперь, зная $b_1 = 5$ и $b_2 = 12$, находим соответствующие значения для $a$:

$$a_1 = 17 — 5 = 12, \quad a_2 = 17 — 12 = 5$$

Ответ: 5 см и 12 см.