ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 672 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Произведение двух чисел равно 84, а их сумма равна 20. Найдите эти числа.
б) Произведение двух положительных чисел равно 120, и одно из них на 7 больше другого. Найдите эти числа.

а) Пусть даны два числа $a$ и $b$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 84 \\ a + b = 20 \end{cases}$$

$$a = 20 — b$$

$$b(20 — b) = 84$$

$$20b — b^2 — 84 = 0$$

$$b^2 — 20b + 84 = 0$$

$$D = 100 — 84 = 16$$

$$b_1 b_2 = 84, \quad b_1 + b_2 = 20;$$

$$b_1 = 14, \quad b_2 = 6;$$

$$a_1 = 20 — 14 = 6, \quad a_2 = 20 — 6 = 14.$$

Ответ: 14 и 6.

б) Пусть даны два числа $a$ и $b$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 120 \\ a — b = 7 \end{cases}$$

$$a = 7 + b$$

$$(7 + b)b = 120$$

$$7b + b^2 — 120 = 0$$

$$b^2 + 7b — 120 = 0$$

$$D = 49 + 4 \cdot 120 = 529$$

$$b_1 b_2 = -120, \quad b_1 + b_2 = -7;$$

$$b_1 = -15 \quad (\text{не подходит}), \quad b_2 = 8.$$ $$a = 7 + 8 = 15.$$

Ответ: 8 и 15.

а) Пусть даны два числа $a$ и $b$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 84 \\ a + b = 20 \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $a$ через $b$

Из второго уравнения:

$$a + b = 20 \quad \Rightarrow \quad a = 20 — b$$

Шаг 2: Подставим $a = 20 — b$ в первое уравнение

Теперь подставим выражение для $a$ в первое уравнение:

$$ab = 84 \quad \Rightarrow \quad (20 — b) \cdot b = 84$$

Раскроем скобки:

$$20b — b^2 = 84$$

Преобразуем в стандартную форму квадратного уравнения:

$$-b^2 + 20b — 84 = 0$$

Умножим обе стороны на $-1$ для упрощения:

$$b^2 — 20b + 84 = 0$$

Шаг 3: Найдем дискриминант

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = -20$, $c = 84$:

$$D = (-20)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 — 336 = 64$$

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

$$b_1, b_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$b_1, b_2 = \frac{-(-20) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 8}{2}$$

Получаем два корня:

$$b_1 = \frac{20 + 8}{2} = 14, \quad b_2 = \frac{20 — 8}{2} = 6$$

Шаг 5: Находим $a$

Теперь, зная $b_1 = 14$ и $b_2 = 6$, найдем соответствующие значения для $a$:

$$a_1 = 20 — 14 = 6, \quad a_2 = 20 — 6 = 14$$

Ответ: $a = 14$ и $b = 6$ (или наоборот).

б) Пусть даны два числа $a$ и $b$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} ab = 120 \\ a — b = 7 \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $a$ через $b$

Из второго уравнения:

$$a — b = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 7 + b$$

Шаг 2: Подставим $a = 7 + b$ в первое уравнение

Теперь подставим выражение для $a$ в первое уравнение:

$$ab = 120 \quad \Rightarrow \quad (7 + b) \cdot b = 120$$

Раскроем скобки:

$$7b + b^2 = 120$$

Преобразуем в стандартную форму квадратного уравнения:

$$b^2 + 7b — 120 = 0$$

Шаг 3: Найдем дискриминант

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 7$, $c = -120$:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$$

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

$$b_1, b_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$b_1, b_2 = \frac{-7 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 23}{2}$$

Получаем два корня:

$$b_1 = \frac{-7 + 23}{2} = 8, \quad b_2 = \frac{-7 — 23}{2} = -15$$

Шаг 5: Отбрасываем неподобающий корень

Так как числа $a$ и $b$ должны быть положительными, отбрасываем $b_1 = -15$, так как оно не подходит.

Оставляем $b = 8$.

Шаг 6: Находим $a$

Теперь, зная $b = 8$, находим $a$:

$$a = 7 + 8 = 15$$

Ответ: $a = 15$ и $b = 8$.