ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 662 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) {(x^2+2x+y^2=16
x+y=2)+
б) {(x^2+y^2-2x-6y+6=0
x+2y=3)+

а)

$$\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2 \end{cases}$$

$(2 — y)^2 + 2(2 — y) + y^2 = 16$

$4 — 4y + y^2 + 4 — 2y + y^2 = 16$

$2y^2 — 6y + 8 — 16 = 0$

$2y^2 — 6y — 8 = 0 \quad | : 2$

$y^2 — 3y — 4 = 0$

$D = 9 + 4 \cdot 4 = 25$

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4.$

$x_1 = 2 — (-1) = 3, \quad x_2 = 2 — 4 = -2.$

Ответ: $(3; -1); \; (-2; 4)$.

б)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 — 2x — 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$$

$x = 3 — 2y$

$(3 — 2y)^2 + y^2 — 2(3 — 2y) — 6y + 6 = 0$

$9 — 12y + 4y^2 + y^2 — 6 + 4y — 6y + 6 = 0$

$5y^2 — 14y + 9 = 0$

$D = 49 — 5 \cdot 9 = 49 — 45 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

$y_1 = \frac{7 — 2}{5} = 1, \quad y_2 = \frac{7 + 2}{5} = 1.8;$

$x_1 = 3 — 2 \cdot 1 = 1, \quad x_2 = 3 — 2 \cdot 1.8 = 3 — 3.6 = -0.6.$

Ответ: $(1; 1); \; (-0.6; 1.8)$.

а)

У нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выражаем $x$:

$$x = 2 — y$$

Шаг 2: Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$$(2 — y)^2 + 2(2 — y) + y^2 = 16$$

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

$$(2 — y)^2 = 4 — 4y + y^2$$ $$2(2 — y) = 4 — 2y$$

Теперь подставим все в уравнение:

$$4 — 4y + y^2 + 4 — 2y + y^2 = 16$$

Шаг 4: Объединим подобные слагаемые:

$$2y^2 — 6y + 8 — 16 = 0$$ $$2y^2 — 6y — 8 = 0$$

Шаг 5: Упростим уравнение, разделив обе части на 2:

$$y^2 — 3y — 4 = 0$$

Шаг 6: Найдем дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Шаг 7: Найдем корни уравнения:

$$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$$ $$y_1 = \frac{-(-3) — 5}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 8: Найдем соответствующие значения $x$:

$$x_1 = 2 — (-1) = 3, \quad x_2 = 2 — 4 = -2$$

Ответ:

$$(3; -1), (-2; 4)$$

б)

У нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 — 2x — 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выражаем $x$:

$$x = 3 — 2y$$

Шаг 2: Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$$(3 — 2y)^2 + y^2 — 2(3 — 2y) — 6y + 6 = 0$$

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

$$(3 — 2y)^2 = 9 — 12y + 4y^2$$ $$-2(3 — 2y) = -6 + 4y$$

Теперь подставим все в уравнение:

$$9 — 12y + 4y^2 + y^2 — 6 + 4y — 6y + 6 = 0$$

Шаг 4: Объединим подобные слагаемые:

$$5y^2 — 14y + 9 = 0$$

Шаг 5: Найдем дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 — 180 = 16$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения:

$$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$$ $$y_1 = \frac{-(-14) — 4}{2 \cdot 5} = \frac{14 — 4}{10} = 1, \quad y_2 = \frac{14 + 4}{10} = 1.8$$

Шаг 7: Найдем соответствующие значения $x$:

$$x_1 = 3 — 2 \cdot 1 = 1, \quad x_2 = 3 — 2 \cdot 1.8 = 3 — 3.6 = -0.6$$

Ответ:

$$(1; 1), (-0.6; 1.8)$$