ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 661 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + z = 3 \\[2pt] y + z = 1 \\[2pt] x + y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x — y = 3y \\[2pt] z — 2y = y \\[2pt] x — z = 5 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + z = 3 \\[2pt] x — y + z = 1 \\[2pt] x — y — z = 9 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y — z = 18 \\[2pt] x — y = 10 \\[2pt] y — z = 6 \end{cases}$

а)

$$\{\begin{array}{l}x+z=3\\ y+z=1\\ x+y=2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3-y=3\\ 3-x=1\\ 3-z=2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ z=1\end{array}$$

$x+z+y+z+x+y=3+1+2$

$2x+2y+2z=6\mathrm{\mid }:2$

$x+y+z=3;$

$x+z=3-y;$

$y+z=3-x;$

$x+y=3-z\mathrm{.}$

Ответ: $x=2$; $y=0$; $z=1$.

б)

$$\{\begin{array}{l}x-y=3y\\ z-2y=y\\ x-z=5\end{array}$$

$z-3y+x-z=5$

$x-3y=5$

$x=5+3y\mathrm{.}$

$$\{\begin{array}{l}5+3y-4y=0\\ z-3y=0\\ x-z=5\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=5\\ z=3\cdot 5\\ x=5+3\cdot 5\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=5\\ z=15\\ x=20\end{array}$$

Ответ: $x=20$; $y=5$; $z=15$.

в)

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x-y+z=1\\ x-y-z=9\end{array}$$

$x+y+z+x-y+z+x-y-z=3+1+9$

$3x-y+z=13$

$2x+(x-y+z)=13$

$2x+1=13$

$2x=12$

$x=6.$

$$\{\begin{array}{l}6+y+z=3\\ 6-y+z=1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}2y=2\\ z=3-6-y\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=1\\ z=-4\end{array}$$

Ответ: $x=6$; $y=1$; $z=-4$.

г)

$$\{\begin{array}{l}x+y-z=18\\ x-y=10\\ y-z=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+(y-z)=18\\ x-y=10\\ y-z=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+6=18\\ x-y=10\\ y-z=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=12\\ y=12-10\\ z=y-6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=12\\ y=2\\ z=-4\end{array}$$

Ответ: $x=12$; $y=2$; $z=-4$.

а) Дана система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+z=3\\ y+z=1\\ x+y=2\end{array}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$:

$$y=1-z$$

Шаг 2: Подставим это выражение для $y$ в третье уравнение:

$$x+(1-z)=2$$

$$x+1-z=2$$

$$x-z=1\text{(1)}$$

Шаг 3: Теперь у нас есть два уравнения:

$$x+z=3\text{(2)}$$$$x-z=1\text{(1)}$$

Шаг 4: Сложим уравнения (1) и (2), чтобы избавиться от $z$:

$$(x+z)+(x-z)=3+1$$

$$2x=4$$

$$x=2$$

Шаг 5: Подставляем найденное значение $x=2$ в уравнение (2):

$$2+z=3$$$$z=1$$

Шаг 6: Подставляем $z=1$ в выражение для $y$:

$$y=1-1=0$$

Ответ:

$$x=2,y=0,z=1$$

б) Дана система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x-y=3y\\ z-2y=y\\ x-z=5\end{array}$$

Шаг 1: Перепишем первое уравнение:

$$x-y=3y\Rightarrow x=4y\text{(1)}$$

Шаг 2: Перепишем второе уравнение:

$$z-2y=y\Rightarrow z=3y\text{(2)}$$

Шаг 3: Подставим выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение:

$$4y-3y=5$$$$y=5$$

Шаг 4: Теперь, зная $y=5$, подставим его в выражения для $x$ и $z$:

$$x=4\cdot 5=20$$$$z=3\cdot 5=15$$

Ответ:

$$x=20,y=5,z=15$$

в) Дана система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x-y+z=1\\ x-y-z=9\end{array}$$

Шаг 1: Сложим все три уравнения, чтобы избавиться от $y$ и $z$:

$$(x+y+z)+(x-y+z)+(x-y-z)=3+1+9$$$$3x-y+z=13$$

Шаг 2: Из этого уравнения выразим $y+z$:

$$y+z=13-3x\text{(1)}$$

Шаг 3: Подставим это в первое уравнение:

$$x+(13-3x)=3$$

$$x+13-3x=3$$

$$-2x=-10$$

$$x=5$$

Шаг 4: Подставим $x=5$ в уравнение (1):

$$y+z=13-3\cdot 5=-2$$

Шаг 5: Подставим $x=5$ в второе уравнение:

$$5-y+z=1$$

$$-y+z=-4$$

$$y-z=4$$

Шаг 6: Подставляем значение $y-z=4$ в $y+z=-2$:

$$y=\frac{-2+4}{2}=1$$$$z=-2-1=-4$$

Ответ:

$$x=5,y=1,z=-4$$

г) Дана система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y-z=18\\ x-y=10\\ y-z=6\end{array}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $x$:

$$x=y+10\text{(1)}$$

Шаг 2: Подставим это в первое уравнение:

$$(y+10)+y-z=18$$

$$2y-z=8\text{(2)}$$

Шаг 3: Из третьего уравнения выразим $z$:

$$z=y-6\text{(3)}$$

Шаг 4: Подставим выражение для $z$ из уравнения (3) в уравнение (2):

$$2y-(y-6)=8$$

$$2y-y+6=8$$

$$y=2$$

Шаг 5: Подставим $y=2$ в уравнение (1):

$$x=2+10=12$$

Шаг 6: Подставим $y=2$ в уравнение (3):

$$z=2-6=-4$$

Ответ:

$$x=12,y=2,z=-4$$