ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 660 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) {(x+y=-2
y+z=4
z+x=2)+
б) {(x+y+z=0
y+z+u=5
z+u+x=6
u+x+y=1)+

а)

$$\begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2 \end{cases}$$

$x + y + y + z + z + x = -2 + 4 + 2$

$2x + 2y + 2z = 4 \quad | : 2$

$x + y + z = 2;$

$x + y = 2 — z;$

$y + z = 2 — x;$

$z + x = 2 — y.$

$$\begin{cases} 2 — z = -2 \\ 2 — x = 4 \\ 2 — y = 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} z = 4 \\ x = -2 \\ y = 0 \end{cases}$$

Ответ: $x = -2$; $y = 0$; $z = 4$.

б)

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1 \end{cases}$$

$x + y + z + y + z + u + z + u + x + u + x + y = 0 + 5 + 6 + 1$

$3x + 3y + 3z + 3u = 12 \quad | : 3$

$x + y + z + u = 4$

$x + y + z = 4 — u;$

$y + z + u = 4 — x;$

$z + u + x = 4 — y;$

$u + x + y = 4 — z.$

$$\begin{cases} 4 — u = 0 \\ 4 — x = 5 \\ 4 — y = 6 \\ 4 — z = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} u = 4 \\ x = -1 \\ y = -2 \\ z = 3 \end{cases}$$

Ответ: $x = -1$; $y = -2$; $z = 3$; $u = 4$.

а)

У нас дана система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Сложим все три уравнения, чтобы избавиться от переменных и упростить выражение:

$$x + y + y + z + z + x = -2 + 4 + 2$$

Шаг 2: Объединяем подобные слагаемые:

$$2x + 2y + 2z = 4$$

Шаг 3: Делим обе части уравнения на 2, чтобы упростить:

$$x + y + z = 2$$

Шаг 4: Из этого уравнения можем выразить $x + y + z$:

$$x + y + z = 2$$

Шаг 5: Выражаем каждую из переменных через другие:

$$x + y = 2 — z$$ $$y + z = 2 — x$$ $$z + x = 2 — y$$

Шаг 6: Теперь подставим эти выражения в систему:

$$\begin{cases} 2 — z = -2 \\ 2 — x = 4 \\ 2 — y = 2 \end{cases}$$

Шаг 7: Решаем каждое уравнение:

1. $2 — z = -2 \quad \Rightarrow \quad z = 4$
2. $2 — x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -2$
3. $2 — y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 0$

Ответ:

$$x = -2, \quad y = 0, \quad z = 4$$

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Сложим все четыре уравнения, чтобы получить выражение для суммы всех переменных:

$$x + y + z + y + z + u + z + u + x + u + x + y = 0 + 5 + 6 + 1$$

Шаг 2: Объединяем подобные слагаемые:

$$3x + 3y + 3z + 3u = 12$$

Шаг 3: Делим обе части уравнения на 3, чтобы упростить:

$$x + y + z + u = 4$$

Шаг 4: Теперь выражаем каждое уравнение через другие переменные:

$$x + y + z = 4 — u$$ $$y + z + u = 4 — x$$ $$z + u + x = 4 — y$$ $$u + x + y = 4 — z$$

Шаг 5: Подставляем эти выражения в систему:

$$\begin{cases} 4 — u = 0 \\ 4 — x = 5 \\ 4 — y = 6 \\ 4 — z = 1 \end{cases}$$

Шаг 6: Решаем каждое уравнение:

$4 — u = 0 \quad \Rightarrow \quad u = 4$

$4 — x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -1$

$4 — y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = -2$

$4 — z = 1 \quad \Rightarrow \quad z = 3$

Ответ:

$$x = -1, \quad y = -2, \quad z = 3, \quad u = 4$$