ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 658 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\ \frac{1}{x}+\frac{3}{y}=7\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a+b=2\\ a+3b=7\end{array}$$

Решаем систему:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a+b=2\text{(1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle a+3b=7\text{(2)}}\end{array}$$

Из уравнения (1):

$$a=2-b$$

Подставляем в уравнение (2):

$$(2-b)+3b=7$$

$$2+2b=7$$

$$2b=5$$

$$b=2.5$$

Найдем $a$:

$$a=2-b=2-2.5=-0.5$$

Таким образом:

$$a=-0.5,b=2.5$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=-0.5,\frac{1}{y}=b=2.5$$$$x=\frac{1}{-0.5}=-2,y=\frac{1}{2.5}=0.4$$

Ответ:

$$x=-2,y=0.4$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{3}{y}=1\\ \frac{3}{x}-\frac{1}{y}=1\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a-3b=1\\ 3a-b=1\end{array}$$

Решаем систему:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a-3b=1\text{(1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 3a-b=1\text{(2)}}\end{array}$$

Умножаем уравнение (1) на 3:

$$3a-9b=3\text{(3)}$$

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$$(3a-9b)-(3a-b)=3-1$$

$$-8b=2$$

$$b=-\frac{1}{4}$$

Найдем $a$:

$$a-3b=1$$

$$a-3(-\frac{1}{4})=1$$

$$a+\frac{3}{4}=1$$

$$a=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Таким образом:

$$a=\frac{1}{4},b=-\frac{1}{4}$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=\frac{1}{4},\frac{1}{y}=b=-\frac{1}{4}$$

$$x=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4,y=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$$

Ответ:

$$x=4,y=-4$$

в)

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=5\\ \frac{4}{x}-\frac{4}{y}=4\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}2a+b=5\\ 4a-4b=4\end{array}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$4a-4b=4\Rightarrow a-b=1$$

Система становится:

$$\{\begin{array}{l}2a+b=5\\ a-b=1\end{array}$$

Решаем систему:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2a+b=5\text{(1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle a-b=1\text{(2)}}\end{array}$$

Из уравнения (2):

$$a=b+1$$

Подставляем в уравнение (1):

$$2(b+1)+b=5$$

$$2b+2+b=5$$

$$3b+2=5$$

$$3b=3$$

$$b=1$$

Найдем $a$:

$$a=b+1=1+1=2$$

Таким образом:

$$a=2,b=1$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=2,\frac{1}{y}=b=1$$$$x=\frac{1}{2},y=1$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{2},y=1$$

г)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10\\ \frac{1}{2x}-\frac{1}{2y}=1\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a+b=10\\ \frac{a}{2}-\frac{b}{2}=1\end{array}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=1\Rightarrow a-b=2$$

Система становится:

$$\{\begin{array}{l}a+b=10\\ a-b=2\end{array}$$

Решаем систему:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a+b=10\text{(1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle a-b=2\text{(2)}}\end{array}$$

Складываем уравнения (1) и (2):

$$(a+b)+(a-b)=10+2$$

$$2a=12$$

$$a=6$$

Найдем $b$:

$$a+b=10$$

$$6+b=10$$

$$b=4$$

Таким образом:

$$a=6,b=4$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=6,\frac{1}{y}=b=4$$$$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{4}$$

а)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\ \frac{1}{x}+\frac{3}{y}=7\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

После замены получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a+b=2\\ a+3b=7\end{array}$$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$$a+b=2\text{(1)}$$

Выражаем $a$ через $b$:

$$a=2-b$$

Теперь подставляем это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$$(2-b)+3b=7$$

Решаем это уравнение:

$$2-b+3b=7\Rightarrow 2+2b=7$$

$$2b=7-2=5\Rightarrow b=2.5$$

Теперь находим $a$:

$$a=2-b=2-2.5=-0.5$$

Таким образом, $a=-0.5$, $b=2.5$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=-0.5,\frac{1}{y}=b=2.5$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x=\frac{1}{-0.5}=-2,y=\frac{1}{2.5}=0.4$$

Ответ:

$$x=-2,y=0.4$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{3}{y}=1\\ \frac{3}{x}-\frac{1}{y}=1\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a-3b=1\\ 3a-b=1\end{array}$$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$$a-3b=1\text{(1)}$$

Умножим его на 3, чтобы привести к общему виду с уравнением (2):

$$3a-9b=3\text{(3)}$$

Теперь вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$$(3a-9b)-(3a-b)=3-1$$$$-8b=2\Rightarrow b=-\frac{1}{4}$$

Теперь находим $a$:

$$a-3b=1$$$$a-3(-\frac{1}{4})=1$$$$a+\frac{3}{4}=1\Rightarrow a=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Таким образом, $a=\frac{1}{4}$, $b=-\frac{1}{4}$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=\frac{1}{4},\frac{1}{y}=b=-\frac{1}{4}$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4,y=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$$

Ответ:

$$x=4,y=-4$$

в)

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=5\\ \frac{4}{x}-\frac{4}{y}=4\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}2a+b=5\\ 4a-4b=4\end{array}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$4a-4b=4\Rightarrow a-b=1$$

Теперь система выглядит так:

$$\{\begin{array}{l}2a+b=5\\ a-b=1\end{array}$$

Решаем систему. Из уравнения (2):

$$a=b+1$$

Подставляем в уравнение (1):

$$2(b+1)+b=5$$

$$2b+2+b=5$$

$$3b+2=5\Rightarrow 3b=3\Rightarrow b=1$$

Теперь находим $a$:

$$a=b+1=1+1=2$$

Таким образом, $a=2$, $b=1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=2,\frac{1}{y}=b=1$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x=\frac{1}{2},y=1$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{2},y=1$$

г)

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10\\ \frac{1}{2x}-\frac{1}{2y}=1\end{array}$$

Замена:

$$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$$

Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}a+b=10\\ \frac{a}{2}-\frac{b}{2}=1\end{array}$$

Упрощаем второе уравнение:

$$\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=1\Rightarrow a-b=2$$

Теперь система выглядит так:

$$\{\begin{array}{l}a+b=10\\ a-b=2\end{array}$$

Решаем систему. Складываем уравнения (1) и (2):

$$(a+b)+(a-b)=10+2$$

$$2a=12\Rightarrow a=6$$

Теперь находим $b$:

$$a+b=10$$

$$6+b=10\Rightarrow b=4$$

Таким образом, $a=6$, $b=4$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{1}{x}=a=6,\frac{1}{y}=b=4$$

Решаем для $x$ и $y$:

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{4}$$