ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 658 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2 \\[6pt] \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{y} = 7 \end{cases}$ ;

б) $\begin{cases} \dfrac{1}{x} — \dfrac{3}{y} = 1 \\[6pt] \dfrac{3}{x} — \dfrac{1}{y} = 1 \end{cases}$ ;

в) $\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 5 \\[6pt] \dfrac{4}{x} — \dfrac{4}{y} = 4 \end{cases}$ ;

г) $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 10 \\[6pt] \dfrac{1}{2x} — \dfrac{1}{2y} = 1 \end{cases}$ .

Краткий ответ:

а)

${\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3 b = 7 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{aligned} a + b = 2 (1) \\ a + 3 b = 7 (2) \end{aligned}$

Из уравнения (1):

$a = 2 - b$

Подставляем в уравнение (2):

$(2 - b) + 3 b = 7$

$2 + 2 b = 7$

$2 b = 5$

$b = 2.5$

Найдем $a$ :

$a = 2 - b = 2 - 2.5 = - 0.5$

Таким образом:

$a = - 0.5, b = 2.5$

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = - 0.5, \frac{1}{y} = b = 2.5$ $x = \frac{1}{- 0.5} = - 2, y = \frac{1}{2.5} = 0.4$

Ответ:

$x = - 2, y = 0.4$

б)

${\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} a - 3 b = 1 \\ 3 a - b = 1 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{aligned} a - 3 b = 1 (1) \\ 3 a - b = 1 (2) \end{aligned}$

Умножаем уравнение (1) на 3:

$3 a - 9 b = 3 (3)$

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$(3 a - 9 b) - (3 a - b) = 3 - 1$

$- 8 b = 2$

$b = - \frac{1}{4}$

Найдем $a$ :

$a - 3 b = 1$

$a - 3 (- \frac{1}{4}) = 1$

$a + \frac{3}{4} = 1$

$a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Таким образом:

$a = \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{4}$

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{4}, \frac{1}{y} = b = - \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4, y = \frac{1}{- \frac{1}{4}} = - 4$

Ответ:

$x = 4, y = - 4$

в)

${\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ 4 a - 4 b = 4 \end{cases}$

Упрощаем второе уравнение:

$4 a - 4 b = 4 \Rightarrow a - b = 1$

Система становится:

${\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{aligned} 2 a + b = 5 (1) \\ a - b = 1 (2) \end{aligned}$

Из уравнения (2):

$a = b + 1$

Подставляем в уравнение (1):

$2 (b + 1) + b = 5$

$2 b + 2 + b = 5$

$3 b + 2 = 5$

$3 b = 3$

$b = 1$

Найдем $a$ :

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$

Таким образом:

$a = 2, b = 1$

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = 2, \frac{1}{y} = b = 1$ $x = \frac{1}{2}, y = 1$

Ответ:

$x = \frac{1}{2}, y = 1$

г)

${\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 y} = 1 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1 \end{cases}$

Упрощаем второе уравнение:

$\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1 \Rightarrow a - b = 2$

Система становится:

${\begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{aligned} a + b = 10 (1) \\ a - b = 2 (2) \end{aligned}$

Складываем уравнения (1) и (2):

$(a + b) + (a - b) = 10 + 2$

$2 a = 12$

$a = 6$

Найдем $b$ :

$a + b = 10$

$6 + b = 10$

$b = 4$

Таким образом:

$a = 6, b = 4$

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = 6, \frac{1}{y} = b = 4$ $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$

Ответ:

$x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$

Подробный ответ:

а)

${\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

После замены получаем систему:

${\begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3 b = 7 \end{cases}$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$a + b = 2 (1)$

Выражаем $a$ через $b$ :

$a = 2 - b$

Теперь подставляем это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(2 - b) + 3 b = 7$

Решаем это уравнение:

$2 - b + 3 b = 7 \Rightarrow 2 + 2 b = 7$

$2 b = 7 - 2 = 5 \Rightarrow b = 2.5$

Теперь находим $a$ :

$a = 2 - b = 2 - 2.5 = - 0.5$

Таким образом, $a = - 0.5$ , $b = 2.5$ .

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = - 0.5, \frac{1}{y} = b = 2.5$

Решаем для $x$ и $y$ :

$x = \frac{1}{- 0.5} = - 2, y = \frac{1}{2.5} = 0.4$

Ответ:

$x = - 2, y = 0.4$

б)

${\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} a - 3 b = 1 \\ 3 a - b = 1 \end{cases}$

Решаем систему. Начнем с первого уравнения:

$a - 3 b = 1 (1)$

Умножим его на 3, чтобы привести к общему виду с уравнением (2):

$3 a - 9 b = 3 (3)$

Теперь вычитаем уравнение (2) из уравнения (3):

$(3 a - 9 b) - (3 a - b) = 3 - 1$ $- 8 b = 2 \Rightarrow b = - \frac{1}{4}$

Теперь находим $a$ :

$a - 3 b = 1$ $a - 3 (- \frac{1}{4}) = 1$ $a + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Таким образом, $a = \frac{1}{4}$ , $b = - \frac{1}{4}$ .

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{4}, \frac{1}{y} = b = - \frac{1}{4}$

Решаем для $x$ и $y$ :

$x = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4, y = \frac{1}{- \frac{1}{4}} = - 4$

Ответ:

$x = 4, y = - 4$

в)

${\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ 4 a - 4 b = 4 \end{cases}$

Упрощаем второе уравнение:

$4 a - 4 b = 4 \Rightarrow a - b = 1$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Решаем систему. Из уравнения (2):

$a = b + 1$

Подставляем в уравнение (1):

$2 (b + 1) + b = 5$

$2 b + 2 + b = 5$

$3 b + 2 = 5 \Rightarrow 3 b = 3 \Rightarrow b = 1$

Теперь находим $a$ :

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$

Таким образом, $a = 2$ , $b = 1$ .

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = 2, \frac{1}{y} = b = 1$

Решаем для $x$ и $y$ :

$x = \frac{1}{2}, y = 1$

Ответ:

$x = \frac{1}{2}, y = 1$

г)

${\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 y} = 1 \end{cases}$

Замена:

$\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$

Получаем систему:

${\begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1 \end{cases}$

Упрощаем второе уравнение:

$\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 1 \Rightarrow a - b = 2$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{cases}$

Решаем систему. Складываем уравнения (1) и (2):

$(a + b) + (a - b) = 10 + 2$

$2 a = 12 \Rightarrow a = 6$

Теперь находим $b$ :

$a + b = 10$

$6 + b = 10 \Rightarrow b = 4$

Таким образом, $a = 6$ , $b = 4$ .

Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = 6, \frac{1}{y} = b = 4$

Решаем для $x$ и $y$ :

$x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$

Ответ:

$x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1