ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 657 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \dfrac{y}{5} + \dfrac{x + y}{3} = -2 \\[6pt] \dfrac{2x — y}{3} = \dfrac{3x}{4} + \dfrac{3}{2} \end{cases}$;

б) $\begin{cases} \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x + y}{2} — \dfrac{5}{2} \\[6pt] 2x + \dfrac{3y}{2} = 0 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} — \dfrac{y}{3} = x — y \\[6pt] 2(x + y) — 2(x — y) — 3 = 2x + y \end{cases}$;

г) $\begin{cases} 3(x — y) — 2(x + y) = 2x — 2y \\[6pt] \dfrac{x — y}{3} — \dfrac{x + y}{2} = \dfrac{x}{6} + 1 \end{cases}$

а)

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{5}+\frac{x+y}{3}=-2\\ \frac{2x-y}{3}=\frac{3x}{4}+\frac{3}{2}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{5}+\frac{x+y}{3}=-2\mathrm{\mid }\cdot 15\\ \frac{2x-y}{3}=\frac{3x}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\mid }\cdot 12\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3y+5(x+y)=-30\\ 8(2x-y)=3x\cdot 3+6\cdot 3\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3y+5x+5y=-30\\ 8x-4y=9x+18\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}8y+5x=-30\\ 8y+2x=-36-\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3x=6\\ x+4y=-18\mathrm{\mid }\cdot 2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=-18-2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=2\\ 4y=-20\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-5\end{array}$$

Ответ: $(2;-5)$.

б)

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x}{3}=\frac{x+y}{2}-\frac{5}{2}\\ 2x+3y=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x}{3}=\frac{x+y}{2}-\frac{5}{2}\mathrm{\mid }\cdot 6\\ 2x+3y=0\mathrm{\mid }\cdot 2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}4x=3(x+y)-15\\ 4x+3y=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}4x=3x+3y-15\\ 4x+3y=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}4x=3x+3y-15\\ 4x+3y=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=3y-15\\ 4x+3y=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 3y=-3+15\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 3y=12\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}$$

Ответ: $(-3;4)$.

в)

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=x-y\\ 2(x+y)-2(x-y)-3=2x+y\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3x-4y=0\mathrm{\mid }\cdot 2\\ 3y-2x=3\mathrm{\mid }\cdot 3\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}6x-8y=0\\ 9y-6x=9+\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=9\\ 3x=4\cdot 9\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=9\\ 3x=36\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=9\\ x=12\end{array}$$

Ответ: $(12;9)$.

г)

$$\{\begin{array}{l}3(x-y)-2(x+y)=2x-2y\\ \frac{x-y}{3}-\frac{x+y}{2}=\frac{x}{6}+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}3x-3y-2x-2y=2x-2y\\ -2x-5y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}-x-3y=0\\ -2x-5y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3y\\ -2(-3y)-5y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 6y-5y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3y\\ y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-3\cdot 6\\ y=6\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=-18\\ y=6\end{array}$$

Ответ: $(-18;6)$.

а)

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{5}+\frac{x+y}{3}=-2\\ \frac{2x-y}{3}=\frac{3x}{4}+\frac{3}{2}\end{array}$$

Умножим первое уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{y}{5}+\frac{x+y}{3}=-2\mathrm{\mid }\cdot 15$$

$$3y+5(x+y)=-30$$

Теперь преобразуем второе уравнение, умножив его на 12:

$$\frac{2x-y}{3}=\frac{3x}{4}+\frac{3}{2}\mathrm{\mid }\cdot 12$$

$$8(2x-y)=3x\cdot 3+6\cdot 3$$

$$8x-4y=9x+18$$

Теперь у нас система:

$$\{\begin{array}{l}3y+5x+5y=-30\\ 8x-4y=9x+18\end{array}$$

Упростим её:

$$\{\begin{array}{l}8y+5x=-30\\ 8y+2x=-36\end{array}$$

Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

$$(8y+5x)-(8y+2x)=-30-(-36)$$

$$3x=6$$

$$x=2$$

Теперь подставим $x=2$ во второе уравнение:

$$x+4y=-18$$

$$2+4y=-18$$

$$4y=-20$$

$$y=-5$$

Ответ: $(2;-5)$.

б)

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x}{3}=\frac{x+y}{2}-\frac{5}{2}\\ 2x+3y=0\end{array}$$

Умножим первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{2x}{3}=\frac{x+y}{2}-\frac{5}{2}\mathrm{\mid }\cdot 6$$

$$4x=3(x+y)-15$$

Теперь у нас система:

$$\{\begin{array}{l}4x=3x+3y-15\\ 4x+3y=0\end{array}$$

Упростим первое уравнение:

$$4x-3x=3y-15$$$$x=3y-15$$

Подставим $x=3y-15$ во второе уравнение:

$$4(3y-15)+3y=0$$

$$12y-60+3y=0$$

$$15y=60$$

$$y=4$$

Теперь подставим $y=4$ в $x=3y-15$:

$$x=3\cdot 4-15$$$$x=-3$$

Ответ: $(-3;4)$.

в)

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=x-y\\ 2(x+y)-2(x-y)-3=2x+y\end{array}$$

Умножим первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=x-y\mathrm{\mid }\cdot 6$$

$$3x-2y=6x-6y$$

$$3x-2y=6x-6y$$

Теперь упростим систему:

$$\{\begin{array}{l}3x-4y=0\\ 9y-6x=9\end{array}$$

Умножим первое уравнение на 3 и второе на 2:

$$\{\begin{array}{l}6x-8y=0\\ 18y-12x=18\end{array}$$

Теперь сложим оба уравнения:

$$6x-8y+18y-12x=18$$

$$-6x+10y=18$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$x=12$$

Теперь подставим $x=12$ в первое уравнение:

$$3\cdot 12-4y=0$$

$$36-4y=0$$

$$4y=36$$

$$y=9$$

Ответ: $(12;9)$.

г)

$$\{\begin{array}{l}3(x-y)-2(x+y)=2x-2y\\ \frac{x-y}{3}-\frac{x+y}{2}=\frac{x}{6}+1\end{array}$$

Первое уравнение:

$$3(x-y)-2(x+y)=2x-2y$$

Раскроем скобки:

$$3x-3y-2x-2y=2x-2y$$

$$x-5y=2x-2y$$

Переносим все элементы с $x$ и $y$ на одну сторону:

$$-x-3y=0$$

Теперь подставим во второе уравнение:

$$\frac{x-y}{3}-\frac{x+y}{2}=\frac{x}{6}+1$$

Умножим на 6 для избавления от дробей:

$$2(x-y)-3(x+y)=x+6$$

$$2x-2y-3x-3y=x+6$$

$$-x-5y=6$$

Подставляем $x=-3y$:

$$-2(-3y)-5y=6$$

$$6y-5y=6$$

$$y=6$$

Теперь подставим $y=6$ в $x=-3y$:

$$x=-3\cdot 6=-18$$

Ответ: $(-18;6)$.