ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 656 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения:

а) $y = x^2$ и $x + y = 2$;

б) $y = x^2$ и $x — y = 1$;

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x — 3$;

г) $y — x^2 = 0$ и $y = -x — 5$.

а)

$$y=x^2\text{и}x+y=2$$

$$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ x+y=2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x+x^2=2\\ y=x^2\end{array}$$

$$x^2+x-2=0$$

$$D=1+4\cdot 2=9$$

$$x_1{x}_2=-2,x_1+x_2=-1$$

$$x_1=-2,x_2=1$$

$$y_1=(-2{)}^2=4,y_2=1^2=1$$

Ответ: $(-2;4)$; $(1;1)$.

б)

$$y=x^2\text{и}x-y=1$$

$$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ x-y=1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ x-x^2=1\end{array}$$

$$x-x^2-1=0$$

$$x^2-x+1=0$$

$$D=1-4=-3<0\text{— решений нет.}$$

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

в)

$$y+x^2=0\text{и}y=-2x-3$$

$$\{\begin{array}{l}y+x^2=0\\ y=-2x-3\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}(-2x-3)+x^2=0\\ y=-2x-3\end{array}$$

$$-2x-3+x^2=0$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=1+3=4$$

$$x_1{x}_2=-3,x_1+x_2=2$$

$$x_1=3,x_2=-1$$$$y_1=-2\cdot 3-3=-9,y_2=-2\cdot (-1)-3=-1$$

Ответ: $(3;-9)$; $(-1;-1)$.

г)

$$y-x^2=0\text{и}y=-x-5$$

$$\{\begin{array}{l}y-x^2=0\\ y=-x-5\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}-x-5-x^2=0\\ y=-x-5\end{array}$$

$$x^2+x+5=0$$

$$D=1-4\cdot 5=-19<0\text{— решений нет.}$$

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

а) Система уравнений:

$$y=x^2\text{и}x+y=2$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=2-x$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение $y=2-x$ во первое уравнение:

$$2-x=x^2$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2+x-2=0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2}=\frac{-1-3}{2}=-2,x_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=\frac{-1+3}{2}=1$$

Шаг 6: Подставим найденные значения $x_1=-2$ и $x_2=1$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=-2$:$$y_1=(-2{)}^2=4$$
• Для $x_2=1$:$$y_2=1^2=1$$

Ответ: $(-2;4)$; $(1;1)$.

б) Система уравнений:

$$y=x^2\text{и}x-y=1$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=x-1$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение $y=x-1$ в первое уравнение:

$$x-1=x^2$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2-x+1=0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$$

Шаг 5: Так как дискриминант отрицателен, то решений нет.

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.

в) Система уравнений:

$$y+x^2=0\text{и}y=-2x-3$$

Шаг 1: Подставим значение $y=-2x-3$ из второго уравнения в первое:

$$(-2x-3)+x^2=0$$

Шаг 2: Упростим:

$$x^2-2x-3=0$$

Шаг 3: Находим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Шаг 4: Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1,x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3$$

Шаг 5: Подставим найденные значения $x_1=-1$ и $x_2=3$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=-1$:$$y_1=-2\cdot (-1)-3=2-3=-1$$
• Для $x_2=3$:$$y_2=-2\cdot 3-3=-6-3=-9$$

Ответ: $(3;-9)$; $(-1;-1)$.

г) Система уравнений:

$$y-x^2=0\text{и}y=-x-5$$

Шаг 1: Подставим значение $y=-x-5$ из второго уравнения в первое:

$$(-x-5)-x^2=0$$

Шаг 2: Упростим:

$$-x-5-x^2=0$$

Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2+x+5=0$$

Шаг 4: Находим дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19$$

Шаг 5: Так как дискриминант отрицателен, то решений нет.

Ответ: прямая и парабола не пересекаются.