ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 655 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} x — y = 4 \\ xy = 12 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} y = x + 2 \\ 4y + x^2 = 8 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} y^2 + 2x — 4y = 0 \\ 2y — x = 2 \end{cases}$;

д) $\begin{cases} 2x — y^2 = 5 \\ x + y^2 = 16 \end{cases}$;

е) $\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ x^2 — y = 1 \end{cases}$

а)

$$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ xy=32\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=12-y\\ y(12-y)=32\end{array}$$

$$12y-y^2-32=0$$

$$y^2-12y+32=0$$

$$D=36-32=4\Rightarrow \sqrt{D}=2$$

$$y_1=6-2=4;y_2=6+2=8$$

$$x_1=12-4=8;x_2=12-8=4$$

Ответ: $(8;4)$; $(4;8)$.

б)

$$\{\begin{array}{l}x-y=4\\ xy=12\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=x-4\\ x(x-4)=12\end{array}$$

$$x^2-4x=12$$

$$x^2-4x-12=0$$

$$D=4+12=16$$

$$x_1=6,x_2=-2$$

$$y_1=6-4=2;y_2=-2-4=-6$$

Ответ: $(6;2)$; $(-2;-6)$.

в)

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 4y+x^2=8\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 4(x+2)+x^2=8\end{array}$$

$$4x+8+x^2-8=0$$

$$x^2+4x=0$$

$$x(x+4)=0$$

$$x_1=0,x_2=-4$$

$$y_1=0+2=2;y_2=-4+2=-2$$

Ответ: $(0;2)$; $(-4;-2)$.

д)

$$\{\begin{array}{l}2x-y^2=5\\ x+y^2=16\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=16-y^2\\ 2(16-y^2)-y^2=5\end{array}$$

$$32-2y^2-y^2=5$$

$$-3y^2=-27$$

$$y^2=9$$

$$y=\pm 3$$

$$x_1=16-(-3{)}^2=16-9=7;x_2=16-3^2=7$$

Ответ: $(7;-3)$; $(7;3)$.

е)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-3y=-5\\ x^2-y=1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ x^2-3(x^2-1)=-5\end{array}$$

$$x^2-3x^2+3+5=0$$

$$-2x^2=-8$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

$$y_1=(-2{)}^2-1=4-1=3;y_2=2^2-1=3$$

Ответ: $(-2;3)$; $(2;3)$.

а) Система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ xy=32\end{array}$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x=12-y$$

Шаг 2: Подставим выражение для $x$ во второе уравнение:

$$(12-y)y=32$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$12y-y^2=32$$

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

$$y^2-12y+32=0$$

Шаг 5: Находим дискриминант:

$$D=(-12{)}^2-4\cdot 1\cdot 32=144-128=16$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-12)-\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{12-4}{2}=4,y_2=\frac{-(-12)+\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{12+4}{2}=8$$

Шаг 7: Подставим значения $y_1=4$ и $y_2=8$ в выражение для $x$:

• Для $y_1=4$:$$x_1=12-4=8$$
• Для $y_2=8$:$$x_2=12-8=4$$

Ответ: $(8;4)$; $(4;8)$.

б) Система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x-y=4\\ xy=12\end{array}$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=x-4$$

Шаг 2: Подставим выражение для $y$ во второе уравнение:

$$x(x-4)=12$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2-4x=12$$

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2-4x-12=0$$

Шаг 5: Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{4-8}{2}=-2,x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{4+8}{2}=6$$

Шаг 7: Подставим значения $x_1=-2$ и $x_2=6$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=-2$:$$y_1=-2-4=-6$$
• Для $x_2=6$:$$y_2=6-4=2$$

Ответ: $(6;2)$; $(-2;-6)$.

в) Система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 4y+x^2=8\end{array}$$

Шаг 1: Подставим значение $y=x+2$ из первого уравнения во второе:

$$4(x+2)+x^2=8$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$4x+8+x^2=8$$

Шаг 3: Упростим:

$$x^2+4x+8=8$$

Шаг 4: Переносим 8 на левую сторону:

$$x^2+4x=0$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x+4)=0$$

Шаг 6: Находим корни уравнения:

$$x_1=0,x_2=-4$$

Шаг 7: Подставим значения $x_1=0$ и $x_2=-4$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=0$:$$y_1=0+2=2$$
• Для $x_2=-4$:$$y_2=-4+2=-2$$

Ответ: $(0;2)$; $(-4;-2)$.

д) Система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}2x-y^2=5\\ x+y^2=16\end{array}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x=16-y^2$$

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

$$2(16-y^2)-y^2=5$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$32-2y^2-y^2=5$$

Шаг 4: Упростим:

$$32-3y^2=5$$

Шаг 5: Переносим 5 на левую сторону:

$$-3y^2=-27$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на -3:

$$y^2=9$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$y=\pm 3$$

Шаг 8: Подставим найденные значения $y_1=3$ и $y_2=-3$ в выражение для $x$:

• Для $y_1=3$:$$x_1=16-3^2=16-9=7$$
• Для $y_2=-3$:$$x_2=16-(-3{)}^2=16-9=7$$

Ответ: $(7;-3)$; $(7;3)$.

е) Система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-3y=-5\\ x^2-y=1\end{array}$$

Шаг 1: Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=x^2-1$$

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2-3(x^2-1)=-5$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2-3x^2+3=-5$$

Шаг 4: Упростим:

$$-2x^2+3=-5$$

Шаг 5: Переносим 3 на правую сторону:

$$-2x^2=-8$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на -2:

$$x^2=4$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm 2$$

Шаг 8: Подставим найденные значения $x_1=2$ и $x_2=-2$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=2$:$$y_1=2^2-1=4-1=3$$
• Для $x_2=-2$:$$y_2=(-2{)}^2-1=4-1=3$$

Ответ: $(-2;3)$; $(2;3)$.