ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 654 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически:

а) $y = \frac{3}{4}x$ и $x^2 + y^2 = 25$;

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$;

в) $y = -\frac{2}{3}x$ и $x^2 + y^2 = 13$;

г) $x — y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16$.

а)

$$y=\frac{3}{4}x\text{и}{x}^2+y^2=25$$

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x\\ x^2+y^2=25\end{array}$$

$$x^2+{\left(\frac{3}{4}x\right)}^2=25$$

$$x^2+\frac{9}{16}{x}^2=25$$

$$\frac{25}{16}{x}^2=25$$

$$x^2=25\cdot \frac{16}{25}=16$$

$$x=\pm 4$$$$y_1=\frac{3}{4}\cdot (-4)=-3;y_2=\frac{3}{4}\cdot 4=3$$

Ответ: $(-4;-3)$ и $(4;3)$.

б)

$$x+y=6\text{и}{x}^2+y^2=20$$

$$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x^2+y^2=20\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=6-x\\ x^2+(6-x{)}^2=20\end{array}$$

$$x^2+36-12x+x^2-20=0$$

$$2x^2-12x+16=0\mathrm{\mid }:2$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$D=9-8=1$$

$$x_1=3-1=2;x_2=3+1=4$$

$$y_1=6-2=4;y_2=6-4=2$$

Ответ: $(2;4)$ и $(4;2)$.

в)

$$y=-\frac{2}{3}x\text{и}{x}^2+y^2=13$$

$$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x\\ x^2+y^2=13\end{array}$$

$$x^2+{(-\frac{2}{3}x)}^2=13$$

$$x^2+\frac{4}{9}{x}^2=13$$

$$\frac{13}{9}{x}^2=13$$

$$x^2=9$$

$$x=\pm 3$$$$y_1=-\frac{2}{3}\cdot (-3)=2;y_2=-\frac{2}{3}\cdot 3=-2$$

Ответ: $(-3;2)$ и $(3;-2)$.

г)

$$x-y=0\text{и}{x}^2+y^2=16$$

$$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x^2+y^2=16\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}y=x\\ x^2+x^2=16\end{array}$$$$2x^2=16$$

$$$$$$x^2=8$$

$$$$$$x=\pm 2\sqrt{2}$$

$$$$$$y=\pm 2\sqrt{2}$$

Ответ: $(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2};2\sqrt{2})$.

а) Система уравнений:

$$y=\frac{3}{4}x\text{и}{x}^2+y^2=25$$

Шаг 1: Подставим значение $y=\frac{3}{4}x$ из первого уравнения во второе:

$$x^2+{\left(\frac{3}{4}x\right)}^2=25$$

Шаг 2: Раскроем скобки во втором выражении:

$$x^2+\frac{9}{16}{x}^2=25$$

Шаг 3: Приведем подобные члены, где $x^2$ — общий множитель:

$$x^2(1+\frac{9}{16})=25$$

Шаг 4: Приводим $1+\frac{9}{16}$ к общему знаменателю:

$$1+\frac{9}{16}=\frac{16}{16}+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{25}{16}{x}^2=25$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 16:

$$25x^2=25\cdot 16$$

$$25x^2=400$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 25:

$$x^2=\frac{400}{25}=16$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm 4$$

Шаг 8: Подставим полученные значения $x=4$ и $x=-4$ в выражение для $y$ (в первом уравнении):

• Для $x=4$:$$y=\frac{3}{4}\cdot 4=3$$
• Для $x=-4$:$$y=\frac{3}{4}\cdot (-4)=-3$$

Ответ: $(-4;-3)$ и $(4;3)$.

б) Система уравнений:

$$x+y=6\text{и}{x}^2+y^2=20$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=6-x$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$$x^2+(6-x{)}^2=20$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2+(36-12x+x^2)=20$$

Шаг 4: Упростим уравнение:

$$x^2+36-12x+x^2=20$$

$$2x^2-12x+36=20$$

Шаг 5: Переносим 20 на левую сторону:

$$2x^2-12x+16=0$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$$x^2-6x+8=0$$

Шаг 7: Находим дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

Шаг 8: Находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{6-\sqrt{4}}{2}=\frac{6-2}{2}=2$$

$$x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{6+\sqrt{4}}{2}=\frac{6+2}{2}=4$$

Шаг 9: Подставим найденные значения $x_1=2$ и $x_2=4$ в выражение для $y$:

• Для $x_1=2$:$$y_1=6-2=4$$
• Для $x_2=4$:$$y_2=6-4=2$$

Ответ: $(2;4)$ и $(4;2)$.

в) Система уравнений:

$$y=-\frac{2}{3}x\text{и}{x}^2+y^2=13$$

Шаг 1: Подставим значение $y=-\frac{2}{3}x$ из первого уравнения во второе:

$$x^2+{(-\frac{2}{3}x)}^2=13$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$x^2+\frac{4}{9}{x}^2=13$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$x^2(1+\frac{4}{9})=13$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю:

$$1+\frac{4}{9}=\frac{9}{9}+\frac{4}{9}=\frac{13}{9}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{13}{9}{x}^2=13$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 9:

$$13x^2=13\cdot 9$$

$$13x^2=117$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 13:

$$x^2=\frac{117}{13}=9$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm 3$$

Шаг 8: Подставим полученные значения $x=3$ и $x=-3$ в выражение для $y$ (в первом уравнении):

• Для $x=3$:$$y=-\frac{2}{3}\cdot 3=-2$$
• Для $x=-3$:$$y=-\frac{2}{3}\cdot (-3)=2$$

Ответ: $(-3;2)$ и $(3;-2)$.

г) Система уравнений:

$$x-y=0\text{и}{x}^2+y^2=16$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y=x$$

Шаг 2: Подставим это в второе уравнение:

$$x^2+x^2=16$$

Шаг 3: Упростим:

$$2x^2=16$$

Шаг 4: Разделим обе стороны уравнения на 2:

$$x^2=8$$

Шаг 5: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm 2\sqrt{2}$$

Шаг 6: Подставим найденные значения $x=2\sqrt{2}$ и $x=-2\sqrt{2}$ в выражение для $y$ (так как $y=x$):

• Для $x=2\sqrt{2}$:$$y=2\sqrt{2}$$
• Для $x=-2\sqrt{2}$:$$y=-2\sqrt{2}$$

Ответ: $(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2};2\sqrt{2})$.