ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 654 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически:
а) y=3/4 x и x^2+y^2=25;
б) x+y=6 и x^2+y^2=20;
в) y=-2/3 x и x^2+y^2=13;
г) x-y=0 и x^2+y^2=16.

а)

$$y = \frac{3}{4}x \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 25$$

$$\begin{cases} y = \frac{3}{4}x \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$$

$$x^2 + \left(\frac{3}{4}x\right)^2 = 25$$

$$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$$

$$\frac{25}{16}x^2 = 25$$

$$x^2 = 25 \cdot \frac{16}{25} = 16$$

$$x = \pm 4$$ $$y_1 = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3; \quad y_2 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$$

Ответ: $(-4; -3)$ и $(4; 3)$.

б)

$$x + y = 6 \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 20$$

$$\begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = 6 — x \\ x^2 + (6 — x)^2 = 20 \end{cases}$$

$$x^2 + 36 — 12x + x^2 — 20 = 0$$

$$2x^2 — 12x + 16 = 0 \quad | : 2$$

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

$$D = 9 — 8 = 1$$

$$x_1 = 3 — 1 = 2; \quad x_2 = 3 + 1 = 4$$

$$y_1 = 6 — 2 = 4; \quad y_2 = 6 — 4 = 2$$

Ответ: $(2; 4)$ и $(4; 2)$.

в)

$$y = -\frac{2}{3}x \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 13$$

$$\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$$

$$x^2 + \left(-\frac{2}{3}x\right)^2 = 13$$

$$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$$

$$\frac{13}{9}x^2 = 13$$

$$x^2 = 9$$

$$x = \pm 3$$ $$y_1 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2; \quad y_2 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$$

Ответ: $(-3; 2)$ и $(3; -2)$.

г)

$$x — y = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 16$$

$$\begin{cases} x — y = 0 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases}$$

$$\begin{cases} y = x \\ x^2 + x^2 = 16 \end{cases}$$ $$2x^2=16$$

$$2x^2 = 16$$ $$x^2=8$$

$$x^2 = 8$$ $$x=\pm 2\sqrt{2}$$

$$x = \pm 2\sqrt{2}$$ $$y = \pm 2\sqrt{2}$$

Ответ: $(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

а) Система уравнений:

$$y = \frac{3}{4}x \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 25$$

Шаг 1: Подставим значение $y = \frac{3}{4}x$ из первого уравнения во второе:

$$x^2 + \left(\frac{3}{4}x\right)^2 = 25$$

Шаг 2: Раскроем скобки во втором выражении:

$$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$$

Шаг 3: Приведем подобные члены, где $x^2$ — общий множитель:

$$x^2 \left(1 + \frac{9}{16}\right) = 25$$

Шаг 4: Приводим $1 + \frac{9}{16}$ к общему знаменателю:

$$1 + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{25}{16}x^2 = 25$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 16:

$$25x^2 = 25 \cdot 16$$

$$25x^2 = 400$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 25:

$$x^2 = \frac{400}{25} = 16$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm 4$$

Шаг 8: Подставим полученные значения $x = 4$ и $x = -4$ в выражение для $y$ (в первом уравнении):

• Для $x = 4$:

  $$y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$$

• Для $x = -4$:

  $$y = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$$

Ответ: $(-4; -3)$ и $(4; 3)$.

б) Система уравнений:

$$x + y = 6 \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 20$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = 6 — x$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$$x^2 + (6 — x)^2 = 20$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

$$x^2 + (36 — 12x + x^2) = 20$$

Шаг 4: Упростим уравнение:

$$x^2 + 36 — 12x + x^2 = 20$$

$$2x^2 — 12x + 36 = 20$$

Шаг 5: Переносим 20 на левую сторону:

$$2x^2 — 12x + 16 = 0$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Шаг 7: Находим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Шаг 8: Находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Шаг 9: Подставим найденные значения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$ в выражение для $y$:

• Для $x_1 = 2$:

  $$y_1 = 6 — 2 = 4$$

• Для $x_2 = 4$:

  $$y_2 = 6 — 4 = 2$$

Ответ: $(2; 4)$ и $(4; 2)$.

в) Система уравнений:

$$y = -\frac{2}{3}x \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 13$$

Шаг 1: Подставим значение $y = -\frac{2}{3}x$ из первого уравнения во второе:

$$x^2 + \left(-\frac{2}{3}x\right)^2 = 13$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$$

Шаг 3: Приведем подобные члены:

$$x^2 \left(1 + \frac{4}{9}\right) = 13$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю:

$$1 + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{13}{9}x^2 = 13$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 9:

$$13x^2 = 13 \cdot 9$$

$$13x^2 = 117$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на 13:

$$x^2 = \frac{117}{13} = 9$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm 3$$

Шаг 8: Подставим полученные значения $x = 3$ и $x = -3$ в выражение для $y$ (в первом уравнении):

• Для $x = 3$:

  $$y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$$

• Для $x = -3$:

  $$y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2$$

Ответ: $(-3; 2)$ и $(3; -2)$.

г) Система уравнений:

$$x — y = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + y^2 = 16$$

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$$y = x$$

Шаг 2: Подставим это в второе уравнение:

$$x^2 + x^2 = 16$$

Шаг 3: Упростим:

$$2x^2 = 16$$

Шаг 4: Разделим обе стороны уравнения на 2:

$$x^2 = 8$$

Шаг 5: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm 2\sqrt{2}$$

Шаг 6: Подставим найденные значения $x = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$ в выражение для $y$ (так как $y = x$):

• Для $x = 2\sqrt{2}$:

  $$y = 2\sqrt{2}$$

• Для $x = -2\sqrt{2}$:

  $$y = -2\sqrt{2}$$

Ответ: $(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.$(2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$