ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Упростите выражение:

а) $\frac{a}{a x - x^{2}} - \frac{a}{a x + x^{2}}$ ;

б) $\frac{a - b}{a^{2} + a b} - \frac{a + b}{a^{2} - a b}$ ;

в) $\frac{m + n}{m^{2} n - m n^{2}} - \frac{m - n}{m^{2} n + m n^{2}}$ ;

г) $\frac{x + y}{x y - y^{2}} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}}$ .

Краткий ответ

а) $\frac{a}{a x - x^{2}} - \frac{a}{a x + x^{2}} = \frac{a}{x (a - x)} - \frac{a}{x (a + x)} = \frac{a (a + x) - a (a - x)}{x (a - x) (a + x)} =$

$\frac{a^{2} + a x - a^{2} + a x}{x (a^{2} - x^{2})} = \frac{2 a x}{x (a^{2} - x^{2})} = \frac{2 a}{a^{2} - x^{2}}$

б) $\frac{a - b}{a^{2} + a b} - \frac{a + b}{a^{2} - a b} = \frac{a - b}{a (a + b)} - \frac{a + b}{a (a - b)} = \frac{(a - b)^{2} - (a + b)^{2}}{a (a + b) (a - b)} =$

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} - (a^{2} + 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} - b^{2})} = \frac{- 4 a b}{a (a^{2} - b^{2})} = \frac{4 b}{b^{2} - a^{2}}$

в) $\frac{m + n}{m^{2} n - m n^{2}} - \frac{m - n}{m n^{2} + m n^{2}} = \frac{m + n}{m n (m - n)} - \frac{m - n}{m n (m + n)} = \frac{(m + n)^{2} - (m - n)^{2}}{m n (m - n) (m + n)} =$

$\frac{m^{2} + 2 m n + n^{2} - (m^{2} - 2 m n + n^{2})}{m n (m^{2} - n^{2})} = \frac{4 m n}{m n (m^{2} - n^{2})} = \frac{4}{m^{2} - n^{2}}$

г) $\frac{x + y}{x y - y^{2}} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} = \frac{x + y}{y (x - y)} - \frac{4 x}{(x - y) (x + y)} = \frac{(x + y)^{2} - 4 x y}{y (x - y) (x + y)} = \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y}{y (x - y) (x + y)} =$

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{y (x - y) (x + y)} = \frac{(x - y)^{2}}{y (x - y) (x + y)} = \frac{x - y}{y (x + y)}$

Подробный ответ

а)
Рассмотрим выражение:

$\frac{a}{a x - x^{2}} - \frac{a}{a x + x^{2}} .$

Представим оба дроби с общим знаменателем. Для этого в числителе вынесем $a$ и перепишем выражения в виде:

$\frac{a}{x (a - x)} - \frac{a}{x (a + x)} .$

Приводим дроби к общему знаменателю $x (a - x) (a + x)$ :

$\frac{a}{x (a - x)} = \frac{a (a + x)}{x (a - x) (a + x)}, \frac{a}{x (a + x)} = \frac{a (a - x)}{x (a - x) (a + x)} .$

Теперь вычитаем дроби:

$\frac{a (a + x) - a (a - x)}{x (a - x) (a + x)} .$

Раскроем скобки в числителе:

$a (a + x) = a^{2} + a x, a (a - x) = a^{2} - a x .$

Подставляем в числитель:

$\frac{a^{2} + a x - a^{2} + a x}{x (a^{2} - x^{2})} .$

Упрощаем числитель:

$\frac{2 a x}{x (a^{2} - x^{2})} .$

Сократим на $x$ :

$\frac{2 a}{a^{2} - x^{2}} .$

Ответ:

$\frac{2 a}{a^{2} - x^{2}} .$

б)
Рассмотрим выражение:

$\frac{a - b}{a^{2} + a b} - \frac{a + b}{a^{2} - a b} .$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого в числителе заменим $a^{2} + a b$ и $a^{2} - a b$ на $a (a + b)$ и $a (a - b)$ :

$\frac{a - b}{a (a + b)} - \frac{a + b}{a (a - b)} .$

Приводим дроби к общему знаменателю $a (a + b) (a - b)$ :

$\frac{a - b}{a (a + b)} = \frac{(a - b)^{2}}{a (a + b) (a - b)}, \frac{a + b}{a (a - b)} = \frac{(a + b)^{2}}{a (a + b) (a - b)} .$

Теперь вычитаем дроби:

$\frac{(a - b)^{2} - (a + b)^{2}}{a (a + b) (a - b)} .$

Раскроем квадраты в числителе:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}, (a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$

Подставляем в числитель:

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} - a^{2} - 2 a b - b^{2}}{a (a + b) (a - b)} .$

Упрощаем числитель:

$\frac{- 4 a b}{a (a + b) (a - b)} .$

Сократим на $a$ :

$\frac{- 4 b}{(a + b) (a - b)} .$

Используем разложение разности квадратов:

$\frac{- 4 b}{b^{2} - a^{2}} .$

Ответ:

$\frac{4 b}{b^{2} - a^{2}} .$

в)
Рассмотрим выражение:

$\frac{m + n}{m^{2} n - m n^{2}} - \frac{m - n}{m^{2} n + m n^{2}} .$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему $m n (m - n) (m + n)$ :

$\frac{m + n}{m n (m - n)} - \frac{m - n}{m n (m + n)} .$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(m + n)^{2} - (m - n)^{2}}{m n (m - n) (m + n)} .$

Раскроем квадраты в числителе:

$(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}, (m - n)^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2} .$

Подставляем в числитель:

$\frac{m^{2} + 2 m n + n^{2} - m^{2} + 2 m n - n^{2}}{m n (m^{2} - n^{2})} .$

Упрощаем числитель:

$\frac{4 m n}{m n (m^{2} - n^{2})} .$

Сократим на $m n$ :

$\frac{4}{m^{2} - n^{2}} .$

Ответ:

$\frac{4}{m^{2} - n^{2}} .$

г)
Рассмотрим выражение:

$\frac{x + y}{x y - y^{2}} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} .$

Вынесем общий множитель из знаменателей. В первом знаменателе $x y - y^{2}$ можно вынести $y$ , во втором $x^{2} - y^{2}$ — разность квадратов:

$\frac{x + y}{y (x - y)} - \frac{4 x}{(x - y) (x + y)} .$

Приводим дроби к общему знаменателю $y (x - y) (x + y)$ :

$\frac{x + y}{y (x - y)} = \frac{(x + y)^{2}}{y (x - y) (x + y)}, \frac{4 x}{(x - y) (x + y)} = \frac{4 x}{y (x - y) (x + y)} .$

Теперь вычитаем дроби:

$\frac{(x + y)^{2} - 4 x (x - y)}{y (x - y) (x + y)} .$

Раскроем скобки в числителе:

$(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, 4 x (x - y) = 4 x^{2} - 4 x y .$

Подставляем в числитель:

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x^{2} + 4 x y}{y (x - y) (x + y)} .$

Упрощаем числитель:

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x y + y^{2}}{y (x - y) (x + y)} .$

Выносим общий множитель 3:

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x y + y^{2})}{y (x - y) (x + y)} = \frac{3 (x - y)^{2}}{y (x - y) (x + y)} .$

Сокращаем на $x - y$ :

$\frac{3 (x - y)}{y (x + y)} .$

Ответ:

$\frac{3 (x - y)}{y (x + y)} .$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.7 / 5

Комментарии

Оставь свой отзыв 💬

Комментариев пока нет, будьте первым!

Другие предметы

ГДЗ Дорофеев 7, 8, 9 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

7-9 класс

7 8 9

ГДЗ Дорофеев 1, 2, 3, 4, 5, 6 Класс по Математике Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

1-6 класс

1 2 3 4 5 6