ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{a}{ax-x^2}-\frac{a}{ax+x^2}$;

б) $\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+b}{a^2-ab}$;

в) $\frac{m+n}{m^{2}n-m{n}^2}-\frac{m-n}{m^{2}n+m{n}^2}$;

г) $\frac{x+y}{xy-y^2}-\frac{4x}{x^2-y^2}$.

а)$\frac{a}{ax-x^2}-\frac{a}{ax+x^2}=\frac{a}{x(a-x)}-\frac{a}{x(a+x)}=\frac{a(a+x)-a(a-x)}{x(a-x)(a+x)}=$

$\frac{a^2+ax-a^2+ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2ax}{x(a^2-x^2)}=\frac{2a}{a^2-x^2}$

б)$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+b}{a^2-ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+b}{a(a-b)}=\frac{(a-b{)}^2-(a+b{)}^2}{a(a+b)(a-b)}=$

$\frac{a^2-2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)}{a(a^2-b^2)}=\frac{-4ab}{a(a^2-b^2)}=\frac{4b}{b^2-a^2}$

в)$\frac{m+n}{m^{2}n-m{n}^2}-\frac{m-n}{m{n}^2+m{n}^2}=\frac{m+n}{mn(m-n)}-\frac{m-n}{mn(m+n)}=\frac{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}{mn(m-n)(m+n)}=$

$\frac{m^2+2mn+n^2-(m^2-2mn+n^2)}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4mn}{mn(m^2-n^2)}=\frac{4}{m^2-n^2}$

г)$\frac{x+y}{xy-y^2}-\frac{4x}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{y(x-y)}-\frac{4x}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x+y{)}^2-4xy}{y(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{y(x-y)(x+y)}=$

$\frac{x^2-2xy+y^2}{y(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y{)}^2}{y(x-y)(x+y)}=\frac{x-y}{y(x+y)}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{ax-x^2}-\frac{a}{ax+x^2}\mathrm{.}$$

Представим оба дроби с общим знаменателем. Для этого в числителе вынесем $a$ и перепишем выражения в виде:

$$\frac{a}{x(a-x)}-\frac{a}{x(a+x)}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $x(a-x)(a+x)$:

$$\frac{a}{x(a-x)}=\frac{a(a+x)}{x(a-x)(a+x)},\frac{a}{x(a+x)}=\frac{a(a-x)}{x(a-x)(a+x)}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{a(a+x)-a(a-x)}{x(a-x)(a+x)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(a+x)=a^2+ax,a(a-x)=a^2-ax\mathrm{.}$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{a^2+ax-a^2+ax}{x(a^2-x^2)}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{2ax}{x(a^2-x^2)}\mathrm{.}$$

Сократим на $x$:

$$\frac{2a}{a^2-x^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2a}{a^2-x^2}\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a-b}{a^2+ab}-\frac{a+b}{a^2-ab}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого в числителе заменим $a^2+ab$ и $a^2-ab$ на $a(a+b)$ и $a(a-b)$:

$$\frac{a-b}{a(a+b)}-\frac{a+b}{a(a-b)}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $a(a+b)(a-b)$:

$$\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b{)}^2}{a(a+b)(a-b)},\frac{a+b}{a(a-b)}=\frac{(a+b{)}^2}{a(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{(a-b{)}^2-(a+b{)}^2}{a(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Раскроем квадраты в числителе:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{a(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{-4ab}{a(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Сократим на $a$:

$$\frac{-4b}{(a+b)(a-b)}\mathrm{.}$$

Используем разложение разности квадратов:

$$\frac{-4b}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{4b}{b^2-a^2}\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m+n}{m^{2}n-m{n}^2}-\frac{m-n}{m^{2}n+m{n}^2}\mathrm{.}$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему $mn(m-n)(m+n)$:

$$\frac{m+n}{mn(m-n)}-\frac{m-n}{mn(m+n)}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(m+n{)}^2-(m-n{)}^2}{mn(m-n)(m+n)}\mathrm{.}$$

Раскроем квадраты в числителе:

$$(m+n{)}^2=m^2+2mn+n^2,(m-n{)}^2=m^2-2mn+n^2\mathrm{.}$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2}{mn(m^2-n^2)}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{4mn}{mn(m^2-n^2)}\mathrm{.}$$

Сократим на $mn$:

$$\frac{4}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{4}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x+y}{xy-y^2}-\frac{4x}{x^2-y^2}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель из знаменателей. В первом знаменателе $xy-y^2$ можно вынести $y$, во втором $x^2-y^2$ — разность квадратов:

$$\frac{x+y}{y(x-y)}-\frac{4x}{(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю $y(x-y)(x+y)$:

$$\frac{x+y}{y(x-y)}=\frac{(x+y{)}^2}{y(x-y)(x+y)},\frac{4x}{(x-y)(x+y)}=\frac{4x}{y(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{(x+y{)}^2-4x(x-y)}{y(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2,4x(x-y)=4x^2-4xy\mathrm{.}$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{x^2+2xy+y^2-4x^2+4xy}{y(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{-3x^2+6xy+y^2}{y(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Выносим общий множитель 3:

$$\frac{3(-x^2+2xy+y^2)}{y(x-y)(x+y)}=\frac{3(x-y{)}^2}{y(x-y)(x+y)}\mathrm{.}$$

Сокращаем на $x-y$:

$$\frac{3(x-y)}{y(x+y)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{3(x-y)}{y(x+y)}\mathrm{.}$$