ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 648 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

1) Убедитесь, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:
а) ${\begin{cases} 2 x + 8 y = 10 \\ 5 x + 20 y = 25 \end{cases}$
б) ${\begin{cases} 4 x - 12 y = 40 \\ 5 x - 15 y = 50 \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при $x$ , коэффициентов при $y$ и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.

2) Убедитесь, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:
а) ${\begin{cases} 3 x + 6 y = - 3 \\ 4 x + 8 y = 2 \end{cases}$
б) ${\begin{cases} 6 x + 2 y = 1 \\ 9 x + 3 y = 9 \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при $x$ , коэффициентов при $y$ и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.

3) Дано уравнение $5 x + y = 8$ . Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:
а) имеющую бесконечно много решений;
б) не имеющую решений.

4) Существует ли такое значение $a$ , при котором система уравнений
${\begin{cases} a x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 18 \end{cases}$
имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, укажите его.

Краткий ответ:

а)

${\begin{cases} 2 x + 8 y = 10 \\ 5 x + 20 y = 25 \end{cases} ∣ : 2 {\begin{cases} x + 4 y = 5 \\ x + 4 y = 5 \end{cases} или \frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25} .$

б)

${\begin{cases} 4 x - 12 y = 40 \\ 5 x - 15 y = 50 \end{cases} ∣ : 4 {\begin{cases} x - 3 y = 10 \\ x - 3 y = 10 \end{cases} или \frac{4}{5} = \frac{12}{15} = \frac{40}{50} .$

Признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений:

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases} или \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} .$

а)

${\begin{cases} 3 x + 6 y = - 3 \\ 4 x + 8 y = 2 \end{cases} ∣ : 3 {\begin{cases} x + 2 y = - 1 \\ x + 2 y = 0.5 \end{cases} или \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \neq \frac{- 3}{2} .$

б)

${\begin{cases} 6 x + 2 y = 1 \\ 9 x + 3 y = 9 \end{cases} ∣ : 2 {\begin{cases} 3 x + y = 0.5 \\ 3 x + y = 3 \end{cases} или \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \neq \frac{1}{9} .$

Признак, по которому можно определить, что система не имеет решений:

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases} или \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} .$

а) бесконечно много решений:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 2.5 x + \frac{1}{2} y = 4 \end{cases} ∣ \cdot 2 {\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 5 x + y = 8 \end{cases} или \frac{5}{2.5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{4} .$

б) решений нет:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 10 x + 2 y = 10 \end{cases} ∣ : 2 {\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 5 x + y = 5 \end{cases} или \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \frac{8}{10} .$

${\begin{cases} a x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 18 \end{cases}$

а)

$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} = \frac{6}{18}, так как \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18} то система не может иметь$

$бесконечно много решений.$

Значит,

$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18} .$

Тогда:

$a = 6 при a = 6 система не имеет решений.$

Ответ: при $a = 6$ система не имеет решений; бесконечно много решений не может быть.

Подробный ответ:

а) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 2 x + 8 y = 10 \\ 5 x + 20 y = 25 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим оба уравнения на 2, чтобы упростить систему:

$\frac{2 x + 8 y}{2} = \frac{10}{2} \Rightarrow x + 4 y = 5$

$\frac{5 x + 20 y}{2} = \frac{25}{2} \Rightarrow x + 4 y = 5$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} x + 4 y = 5 \\ x + 4 y = 5 \end{cases}$

Шаг 2. Заметим, что оба уравнения идентичны, что означает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать их в виде $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$ , что подтверждает, что система не имеет противоречий и решения для всех значений $y$ .

б) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 4 x - 12 y = 40 \\ 5 x - 15 y = 50 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим оба уравнения на 4:

$\frac{4 x - 12 y}{4} = \frac{40}{4} \Rightarrow x - 3 y = 10$ $\frac{5 x - 15 y}{4} = \frac{50}{4} \Rightarrow x - 3 y = 10$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} x - 3 y = 10 \\ x - 3 y = 10 \end{cases}$

Шаг 2. Так как оба уравнения идентичны, это подтверждает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать это как $\frac{4}{5} = \frac{12}{15} = \frac{40}{50}$ , что подтверждает идентичность уравнений.

Признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений:

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases} или \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} .$

а) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 3 x + 6 y = - 3 \\ 4 x + 8 y = 2 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 3:

$\frac{3 x + 6 y}{3} = \frac{- 3}{3} \Rightarrow x + 2 y = - 1$

Разделим второе уравнение на 4:

$\frac{4 x + 8 y}{4} = \frac{2}{4} \Rightarrow x + 2 y = 0.5$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} x + 2 y = - 1 \\ x + 2 y = 0.5 \end{cases}$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $x + 2 y$ не может одновременно быть равно $- 1$ и $0.5$ . Следовательно, система не имеет решений.

б) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 6 x + 2 y = 1 \\ 9 x + 3 y = 9 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 2:

$\frac{6 x + 2 y}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 3 x + y = 0.5$

Разделим второе уравнение на 3:

$\frac{9 x + 3 y}{3} = \frac{9}{3} \Rightarrow 3 x + y = 3$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} 3 x + y = 0.5 \\ 3 x + y = 3 \end{cases}$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $3 x + y$ не может одновременно быть равно $0.5$ и $3$ . Следовательно, система не имеет решений.

Признак, по которому можно определить, что система не имеет решений:

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases} или \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} .$

а) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 2.5 x + \frac{1}{2} y = 4 \end{cases}$

Шаг 1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2 \cdot (2.5 x + \frac{1}{2} y) = 2 \cdot 4 \Rightarrow 5 x + y = 8$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 5 x + y = 8 \end{cases}$

Шаг 2. Видим, что оба уравнения идентичны, что означает, что система имеет бесконечно много решений. Мы можем записать $\frac{5}{2.5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{4}$ , что подтверждает, что система не имеет противоречий.

б) Дана система уравнений:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 10 x + 2 y = 10 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим второе уравнение на 2:

$\frac{10 x + 2 y}{2} = \frac{10}{2} \Rightarrow 5 x + y = 5$

Теперь система выглядит так:

${\begin{cases} 5 x + y = 8 \\ 5 x + y = 5 \end{cases}$

Шаг 2. Видим, что уравнения противоречат друг другу, так как $5 x + y$ не может одновременно быть равно $8$ и $5$ . Следовательно, система не имеет решений.

Дана система уравнений:

${\begin{cases} a x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 18 \end{cases}$

Шаг 1. Разделим первое уравнение на 2:

$\frac{a x + 3 y}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow \frac{a}{2} x + \frac{3}{2} y = 3$

Это равенство означает, что система не может иметь бесконечно много решений, так как $\frac{3}{1} \neq \frac{6}{18}$ .

Шаг 2. Значит:

$\frac{a}{2} = \frac{3}{1} \neq \frac{6}{18} .$

Таким образом, система не может иметь бесконечно много решений.

Ответ: при $a = 6$ система не имеет решений.

Оцени решение