ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 645 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
$\begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases}$

б)
$\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases}$

в)
$\begin{cases} 2p — \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases}$

г)
$\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases}$

а)

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=5\end{array}\mid \cdot 6$$

$$\{\begin{array}{l}3x-2y=12\\ x+2y=20\end{array}+$$

$$\{\begin{array}{l}4x=32\\ x+2y=20\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=8\\ 2y=20-8\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=6\end{array}$$

Ответ: $x=8$; $y=6$.

б)

$$\{\begin{array}{l}\frac{u}{5}+\frac{v}{2}=2\\ -\frac{u}{3}+\frac{v}{2}=\frac{2}{3}\end{array}\mid \cdot 10$$

$$\{\begin{array}{l}2u+5v=20\\ -2u+3v=4\end{array}+$$

$$\{\begin{array}{l}8v=24\\ 2u+5v=20\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}v=3\\ 2u=20-5\cdot 3\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}v=3\\ u=2,5\end{array}$$

Ответ: $u=2,5$; $v=3$.

в)

$$\{\begin{array}{l}2p-\frac{q}{2}=14\\ \frac{p}{2}+\frac{q}{8}=7\end{array}\mid \cdot 2$$

$$\{\begin{array}{l}4p-q=28\\ 4p+q=56\end{array}+$$

$$\{\begin{array}{l}8p=84\\ 4p-q=28\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}p=10,5\\ q=4\cdot 10,5-28\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}p=10,5\\ q=14\end{array}$$

Ответ: $p=10,5$; $q=14$.

г)

$$\{\begin{array}{l}\frac{3m}{2}+\frac{2n}{3}=6\\ \frac{3m}{4}+\frac{n}{3}=12\end{array}\mid \cdot 6$$

$$\{\begin{array}{l}9m+4n=36\\ 9m+4n=144\end{array}$$

$$9m+4n=36-\text{решений нет.}$$

Ответ: решений нет.

а) Система:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=5\end{array}$$

Шаг 1: Умножим обе части каждого уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 2), чтобы избавиться от дробей.

$$6\cdot (\frac{x}{2}-\frac{y}{3})=6\cdot 2\Rightarrow 3x-2y=12$$

$$6\cdot (\frac{x}{4}+\frac{y}{2})=6\cdot 5\Rightarrow x+2y=20$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}3x-2y=12\\ x+2y=20\end{array}$$

Шаг 2: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $y$:

$$(3x-2y)+(x+2y)=12+20$$

Сокращаем $y$ и получаем:

$$4x=32$$

Теперь решаем для $x$:

$$x=\frac{32}{4}=8$$

Шаг 3: Подставляем $x=8$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

$$x+2y=20$$$$8+2y=20$$

Решаем для $y$:

$$2y=20-8=12$$$$y=\frac{12}{2}=6$$

Ответ: $x=8$, $y=6$.

б) Система:

$$\{\begin{array}{l}\frac{u}{5}+\frac{v}{2}=2\\ -\frac{u}{3}+\frac{v}{2}=\frac{2}{3}\end{array}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2, 3, 2), чтобы избавиться от дробей:

$$10\cdot (\frac{u}{5}+\frac{v}{2})=10\cdot 2\Rightarrow 2u+5v=20$$

$$10\cdot (-\frac{u}{3}+\frac{v}{2})=10\cdot \frac{2}{3}\Rightarrow -2u+5v=4$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}2u+5v=20\\ -2u+5v=4\end{array}$$

Шаг 2: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $u$:

$$(2u+5v)+(-2u+5v)=20+4$$

Сокращаем $u$ и получаем:

$$10v=24$$

Решаем для $v$:

$$v=\frac{24}{10}=2,4$$

Шаг 3: Подставляем $v=2,4$ в одно из уравнений, например, в первое:

$$2u+5(2,4)=20$$

$$2u+12=20$$

Решаем для $u$:

$$2u=20-12=8$$

$$u=\frac{8}{2}=4$$

Ответ: $u=4$, $v=2,4$.

в) Система:

$$\{\begin{array}{l}2p-\frac{q}{2}=14\\ \frac{p}{2}+\frac{q}{8}=7\end{array}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 8 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 2, 8), чтобы избавиться от дробей:

$$8\cdot (2p-\frac{q}{2})=8\cdot 14\Rightarrow 16p-4q=112$$

$$8\cdot (\frac{p}{2}+\frac{q}{8})=8\cdot 7\Rightarrow 4p+q=56$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}16p-4q=112\\ 4p+q=56\end{array}$$

Шаг 2: Умножим второе уравнение на 4, чтобы упростить вычисления:

$$4\cdot (4p+q)=4\cdot 56\Rightarrow 16p+4q=224$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}16p-4q=112\\ 16p+4q=224\end{array}$$

Шаг 3: Складываем эти два уравнения, чтобы избавиться от $q$:

$$(16p-4q)+(16p+4q)=112+224$$

Сокращаем $q$ и получаем:

$$32p=336$$

Решаем для $p$:

$$p=\frac{336}{32}=10,5$$

Шаг 4: Подставляем $p=10,5$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

$$4(10,5)+q=56$$$$42+q=56$$

Решаем для $q$:

$$q=56-42=14$$

Ответ: $p=10,5$, $q=14$.

г) Система:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3m}{2}+\frac{2n}{3}=6\\ \frac{3m}{4}+\frac{n}{3}=12\end{array}$$

Шаг 1: Умножим каждое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4), чтобы избавиться от дробей:

$$12\cdot (\frac{3m}{2}+\frac{2n}{3})=12\cdot 6\Rightarrow 18m+8n=72$$

$$12\cdot (\frac{3m}{4}+\frac{n}{3})=12\cdot 12\Rightarrow 9m+4n=144$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}18m+8n=72\\ 9m+4n=144\end{array}$$

Шаг 2: Умножим второе уравнение на 2, чтобы упростить систему:

$$2\cdot (9m+4n)=2\cdot 144\Rightarrow 18m+8n=288$$

Теперь получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}18m+8n=72\\ 18m+8n=288\end{array}$$

Шаг 3: Вычитаем первое уравнение из второго:

$$(18m+8n)-(18m+8n)=288-72$$

Получаем:

$$0=216$$

Это противоречие. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.