ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 643 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Используя графические соображения, определите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение:

1) $\begin{cases} 2x — y = 8 \\ y — 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x — 2y = 8 \\ y — x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x — 2y = 8 \\ 2x — y = 8 \end{cases}$

Краткий ответ:

1)

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ y - 2 x = - 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем второе уравнение на $(- 1)$ :

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ - (y - 2 x) = - (- 8) \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ - y + 2 x = 8 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Оба уравнения совпадают, что означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, совпадают. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

2)

${\begin{cases} 2 x - 2 y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем первое уравнение на $(- 2)$ :

${\begin{cases} - 2 (2 x - 2 y) = - 2 (8) \\ y - x = 8 \end{cases}$

${\begin{cases} - 4 x + 4 y = - 16 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Перепишем второе уравнение в виде $y - x = 8$ :

${\begin{cases} - 4 x + 4 y = - 16 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Система противоречива, так как левые части уравнений не могут быть равны при разных правых частях. Следовательно, система не имеет решений.

3)

${\begin{cases} x - 2 y = 8 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем первое уравнение на $2$ :

${\begin{cases} 2 (x - 2 y) = 2 (8) \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x - 4 y = 16 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$(2 x - 4 y) - (2 x - y) = 16 - 8$

$2 x - 4 y - 2 x + y = 8$

$- 3 y = 8$

$y = \frac{- 8}{3}$

Подставляем $y = \frac{- 8}{3}$ во второе уравнение:

$2 x - (\frac{- 8}{3}) = 8$

$2 x + \frac{8}{3} = 8$

$2 x = 8 - \frac{8}{3}$

$2 x = \frac{24}{3} - \frac{8}{3}$

$2 x = \frac{16}{3}$

$x = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{8}{3}$

Ответ: Система имеет единственное решение:

$(\frac{8}{3}, \frac{- 8}{3})$

Подробный ответ:

1)

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ y - 2 x = - 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем второе уравнение на $(- 1)$ , чтобы привести его к такому виду, который совпадает с первым уравнением по знакам:

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ - (y - 2 x) = - (- 8) \end{cases}$

Получаем:

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ - y + 2 x = 8 \end{cases}$

Теперь у нас система:

${\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Оба уравнения совпадают, что означает, что прямые, соответствующие этим уравнениям, совпадают, и система имеет бесконечно много решений, так как у нас одно уравнение, записанное дважды.

Ответ: Бесконечно много решений.

2)

${\begin{cases} 2 x - 2 y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем первое уравнение на $(- 2)$ , чтобы привести его к виду, с которым легче работать с вторым уравнением:

${\begin{cases} - 2 (2 x - 2 y) = - 2 (8) \\ y - x = 8 \end{cases}$

Получаем:

${\begin{cases} - 4 x + 4 y = - 16 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Перепишем второе уравнение в виде $y - x = 8$ , чтобы видеть структуру:

${\begin{cases} - 4 x + 4 y = - 16 \\ y - x = 8 \end{cases}$

Система противоречива, так как левые части уравнений не могут быть равны при разных правых частях. То есть, одна линия в пространстве будет идти в одну сторону, а другая — в противоположную. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.

3)

${\begin{cases} x - 2 y = 8 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Решение:
Умножаем первое уравнение на $2$ , чтобы получить систему с одинаковыми коэффициентами перед $x$ :

${\begin{cases} 2 (x - 2 y) = 2 (8) \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Получаем:

${\begin{cases} 2 x - 4 y = 16 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$(2 x - 4 y) - (2 x - y) = 16 - 8$

Преобразуем выражение:

$2 x - 4 y - 2 x + y = 8$

Упрощаем:

$- 3 y = 8$

Решаем для $y$ :

$y = \frac{- 8}{3}$

Теперь подставляем $y = \frac{- 8}{3}$ во второе уравнение:

$2 x - (\frac{- 8}{3}) = 8$

Получаем:

$2 x + \frac{8}{3} = 8$

Переводим $8$ в дробь:

$2 x = 8 - \frac{8}{3}$

Приводим к общему знаменателю:

$2 x = \frac{24}{3} - \frac{8}{3}$

Получаем:

$2 x = \frac{16}{3}$

Теперь решим для $x$ :

$x = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{8}{3}$

Ответ: Система имеет единственное решение:

$(\frac{8}{3}, \frac{- 8}{3})$

Оцени решение