ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 614 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Прямые заданы уравнениями $y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = \frac{1}{2}x — 4$, $y = \frac{1}{2}x$.

1) Найдите угловой коэффициент каждой прямой.

2) Определите, как расположены эти прямые на координатной плоскости относительно друг друга.

3) Укажите точки пересечения каждой прямой с осью $y$.

4) Постройте данные прямые на координатной плоскости.

$y=\frac{1}{2}x+1,y=\frac{1}{2}x-4,y=\frac{1}{2}x$

1) Угловой коэффициент у всех прямых равен $\frac{1}{2}$.

2) Взаимное расположение этих прямых на плоскости — параллельное.

$\mathrm{3)\; y}=\frac{1}{2}x+1$ пересекает ось $y$ в точке $1$;

$y=\frac{1}{2}x-4$ пересекает ось $y$ в точке $-4$;

$y=\frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $0$.

4) Графики данных прямых:

1) Угловой коэффициент у всех прямых равен $\frac{1}{2}$

Шаг 1: Анализ углового коэффициента

Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y=kx+l$ определяет наклон прямой и показывает, насколько быстро изменяется $y$ по сравнению с $x$.

• В уравнении $y=\frac{1}{2}x+1$, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
• В уравнении $y=\frac{1}{2}x-4$, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
• В уравнении $y=\frac{1}{2}x$, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

Поскольку угловой коэффициент у всех прямых одинаковый ($k=\frac{1}{2}$), все эти прямые будут иметь одинаковый наклон и будут двигаться вверх, так как $k>0$.

2) Взаимное расположение этих прямых на плоскости — параллельное

Шаг 1: Причина параллельности

Когда у двух прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены, они будут параллельны, так как их наклоны одинаковы, а значит, они не пересекаются. Единственное различие между ними заключается в их свободных членах $l$, которые сдвигают прямые вверх или вниз по оси $y$.

В данном случае:

• Прямая $y=\frac{1}{2}x+1$ будет выше по оси $y$, чем $y=\frac{1}{2}x-4$, так как свободный член $1>-4$.
• Прямая $y=\frac{1}{2}x+1$ будет выше, чем $y=\frac{1}{2}x$, так как $1>0$.

3) Пересечения с осью $y$

Шаг 1: Пересечение с осью $y$

Ось $y$ — это линия, где $x=0$. Чтобы найти точку пересечения прямой с осью $y$, подставим $x=0$ в каждое уравнение:

• Для $y=\frac{1}{2}x+1$, подставляем $x=0$:

$$y=\frac{1}{2}\cdot 0+1=1$$

Таким образом, прямая $y=\frac{1}{2}x+1$ пересекает ось $y$ в точке $(0,1)$.

• Для $y=\frac{1}{2}x-4$, подставляем $x=0$:

$$y=\frac{1}{2}\cdot 0-4=-4$$

Таким образом, прямая $y=\frac{1}{2}x-4$ пересекает ось $y$ в точке $(0,-4)$.

• Для $y=\frac{1}{2}x$, подставляем $x=0$:

$$y=\frac{1}{2}\cdot 0=0$$

Таким образом, прямая $y=\frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $(0,0)$.

4) Графики данных прямых

Шаг 1: Описание графиков

• Все прямые имеют угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$, что означает, что они имеют одинаковый наклон, то есть на каждом шаге по оси $x$ на 1 единицу, значение $y$ увеличивается на $\frac{1}{2}$.
• Прямая $y=\frac{1}{2}x+1$ будет находиться выше всех, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0,1)$.
• Прямая $y=\frac{1}{2}x-4$ будет ниже по сравнению с $y=\frac{1}{2}x+1$, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0,-4)$.
• Прямая $y=\frac{1}{2}x$ будет находиться между этими двумя, так как её пересечение с осью $y$ происходит в точке $(0,0)$.

Шаг 2: Построение графиков

На графиках эти прямые будут параллельны, с одинаковым наклоном, но различными точками пересечения с осью $y$:

1. Прямая $y=\frac{1}{2}x+1$ будет проходить через точку $(0,1)$ и подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.
2. Прямая $y=\frac{1}{2}x-4$ будет проходить через точку $(0,-4)$ и также подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.
3. Прямая $y=\frac{1}{2}x$ будет проходить через точку $(0,0)$ и подниматься вверх с углом наклона $\frac{1}{2}$.

Все эти прямые будут параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент, но сдвинуты по оси $y$ в зависимости от их свободного члена.