ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 605 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Графиком уравнения $(x^2+y^2+y)^2=x^2+y^2$ является кривая, показанная на рисунке 4.13. Эта кривая называется кардиоидой, так как её форма напоминает сердце. Найдите координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат.

$$(x^2+y^2+y{)}^2=x^2+y^2$$

при $x=0$:

$$(0^2+y^2+y{)}^2=0+y^2$$

$$(y^2+y{)}^2=y^2$$

$$y^4+2y^3+y^2=y^2$$

$$y^4+2y^3=0$$

$$y^3(y+2)=0$$

$$y^3=0,y+2=0$$

$$y=0,y=-2.$$

Точки: $(0;0)$, $(0;-2)$.

при $y=0$:

$$(x^2+0^2+0{)}^2=x^2+0$$

$$(x^2{)}^2=x^2$$

$$x^4=x^2$$

$$x^4-x^2=0$$

$$x^2(x^2-1)=0$$

$$x^2=0,x^2=1$$

$$x=0,x=\pm 1.$$

Точки: $(0;0)$, $(-1;0)$, $(1;0)$.

Координаты точек пересечения с осями координат:

$$(0;0),(0;-2),(-1;0),(1;0)\mathrm{.}$$

1) Рассмотрим случай $x=0$:

Подставляем $x=0$ в уравнение:

$$(0^2+y^2+y{)}^2=0^2+y^2$$

$$(y^2+y{)}^2=y^2$$

Теперь раскроем скобки:

$$y^4+2y^3+y^2=y^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$y^4+2y^3+y^2-y^2=0$$

$$y^4+2y^3=0$$

Факторизуем:

$$y^3(y+2)=0$$

Теперь решим это уравнение:

$y^3=0$ даёт $y=0$

$y+2=0$ даёт $y=-2$

Таким образом, получаем две точки: $(0;0)$ и $(0;-2)$.

2) Рассмотрим случай $y=0$:

Подставляем $y=0$ в уравнение:

$$(x^2+0^2+0{)}^2=x^2+0$$

$$(x^2{)}^2=x^2$$

Теперь получаем:

$$x^4=x^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^4-x^2=0$$

Факторизуем:

$$x^2(x^2-1)=0$$

Теперь решим это уравнение:

$x^2=0$ даёт $x=0$

$x^2-1=0$ даёт $x=\pm 1$

Таким образом, получаем три точки: $(0;0)$, $(-1;0)$ и $(1;0)$.

3) Координаты точек пересечения с осями координат:

• При $x=0$ мы получили точки $(0;0)$ и $(0;-2)$.
• При $y=0$ мы получили точки $(0;0)$, $(-1;0)$, и $(1;0)$.

Таким образом, координаты точек пересечения с осями координат следующие:

$$(0;0),(0;-2),(-1;0),(1;0)$$