ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 604 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Линия, изображённая на рисунке 4.12, является эллипсом. Его уравнение можно записать в виде $\tfrac{x^2}{a}+\tfrac{y^2}{b}=1$, где $a$ и $b$ — положительные числа, причём $a\neq b$.

1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнением $\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{16}=1$.

2) Определите ординаты точек эллипса $\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{16}=1$, для которых абсциссы равны $1$.

3) Постройте эллипс, заданный уравнением $\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{16}=1$.

$\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$, $a$ и $b$ — положительные числа, $a \ge b$

1) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$при $x = 0$;
$\frac{0}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{y^2}{16} = 1$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$ $\Rightarrow$ $(0; -4)$ и $(0; 4)$.

при $y = 0$;
$\frac{x^2}{25} + \frac{0}{16} = 1$
$\frac{x^2}{25} = 1$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$ $\Rightarrow$ $(-5; 0)$ и $(5; 0)$.

Координаты точек пересечения с осями координат:
$(0; -4)$; $(0; 4)$; $(-5; 0)$; $(5; 0)$.

2) при $x = 1$:
$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{y^2}{16} = 1 — \frac{1}{25}$
$\frac{y^2}{16} = \frac{24}{25}$
$y^2 = \frac{24 \cdot 16}{25}$
$y = \pm \sqrt{\frac{24 \cdot 16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \sqrt{24} = \pm \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt{6}$
$y = \pm \frac{8}{5} \sqrt{6}$.

Ответ: $\left(1; \frac{8}{5} \sqrt{6}\right)$; $\left(1; -\frac{8}{5} \sqrt{6}\right)$.

3) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$, $a$ и $b$ — положительные числа, $a \ge b$

1) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Точки пересечения с осями:
при $x = 0$: $\frac{0}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (0;-4), (0;4)$.
при $y = 0$: $\frac{x^2}{25} + \frac{0}{16} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{25} = 1 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5 \Rightarrow (-5;0), (5;0)$.
Координаты точек пересечения с осями координат: $(0;-4)$, $(0;4)$, $(-5;0)$, $(5;0)$.

2) При $x = 1$: $\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{16} = 1 — \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \Rightarrow y^2 = \frac{24 \cdot 16}{25} = \frac{384}{25} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{384}{25}} = \pm \frac{\sqrt{384}}{5} = \pm \frac{8\sqrt{6}}{5}$.
Ответ: $\left(1;\frac{8\sqrt{6}}{5}\right)$, $\left(1;-\frac{8\sqrt{6}}{5}\right)$.

3) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Построение: полуоси равны $\sqrt{25} = 5$ по оси $Ox$ и $\sqrt{16} = 4$ по оси $Oy$; вершины $(\pm 5;0)$, $(0;\pm 4)$; центр $(0;0)$; главная ось вдоль оси $Ox$; направляющий прямоугольник с вершинами $(\pm 5;\pm 4)$. Эллипс плавно соединяет точки $(\pm 5;0)$ и $(0;\pm 4)$.