ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 595 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте прямые в одной системе координат и определите координаты точки их пересечения. Проверьте результат подстановкой найденной пары чисел в уравнения:
а) 4x-3y=12 и 2x+2y=1;
б) 2x+y=4 и 7x-2y=3.

а) $4x — 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$

• Для $4x — 3y = 12$:

  $$3y = 4x — 12 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{3}x — 4$$

• Для $2x + 2y = 1$:

  $$2y = 1 — 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2} — x$$

Решаем систему:

$$\frac{4}{3}x — 4 = \frac{1}{2} — x$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$\frac{4}{3}x + x = \frac{1}{2} + 4$$

Объединяем $x$-слагаемые:

$$(\frac{4}{3}+1)x=\frac{1}{2}+4$$

$$\left( \frac{4}{3} + 1 \right)x = \frac{1}{2} + 4$$ $$\left( \frac{4}{3} + \frac{3}{3} \right)x = \frac{1}{2} + \frac{8}{2}$$ $$\frac{7}{3}x = \frac{9}{2}$$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{27}{14}$$

Подставляем $x = \frac{27}{14}$ в одно из уравнений, например $y = \frac{1}{2} — x$:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{27}{14}$$

$$y = \frac{7}{14} — \frac{27}{14} = \frac{-20}{14} = -\frac{10}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{\left( \frac{27}{14}, -\frac{10}{7} \right)}$$

б) $2x + y = 4$ и $7x — 2y = 3$

• Для $2x + y = 4$:

  $$y = 4 — 2x$$

• Для $7x — 2y = 3$:

  $$2y = 7x — 3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}$$

Решаем систему:

$$4 — 2x = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$4 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}x + 2x$$

Объединяем $x$-слагаемые:

$$\frac{8}{2} + \frac{3}{2} = \left( \frac{7}{2} + \frac{4}{2} \right)x$$ $$\frac{11}{2} = \frac{11}{2}x$$

Решаем для $x$:

$$x = 1$$

Подставляем $x = 1$ в одно из уравнений, например $y = 4 — 2x$:

$$y = 4 — 2 \cdot 1 = 4 — 2 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{(1; 2)}$$

а) $4x — 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$

1. Перепишем уравнения в виде $y = f(x)$:

• Для первого уравнения $4x — 3y = 12$ преобразуем его в вид $y = f(x)$:

  $$4x — 3y = 12 \quad \Rightarrow \quad 3y = 4x — 12 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{3}x — 4.$$

  Теперь у нас есть выражение для $y$ через $x$: $y = \frac{4}{3}x — 4$.

• Для второго уравнения $2x + 2y = 1$ также преобразуем в вид $y = f(x)$:

  $$2x + 2y = 1 \quad \Rightarrow \quad 2y = 1 — 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2} — x.$$

  Теперь у нас есть выражение для $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2} — x$.

2. Составим таблицы значений:

Теперь подставим различные значения $x$ в оба уравнения и найдём соответствующие значения $y$.

Для уравнения $y = \frac{4}{3}x — 4$:

Для уравнения $y = \frac{1}{2} — x$:

3. Найдем координаты точки пересечения:

Теперь решим систему уравнений:

$$\frac{4}{3}x — 4 = \frac{1}{2} — x.$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$\frac{4}{3}x + x = \frac{1}{2} + 4.$$

Объединяем $x$-слагаемые:

$$\left( \frac{4}{3} + 1 \right)x = \frac{1}{2} + 4$$

$$\left( \frac{4}{3} + \frac{3}{3} \right)x = \frac{1}{2} + \frac{8}{2}$$ $$\frac{7}{3}x = \frac{9}{2}.$$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{27}{14}.$$

Теперь подставим $x = \frac{27}{14}$ в одно из уравнений, например $y = \frac{1}{2} — x$:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{27}{14}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$y = \frac{7}{14} — \frac{27}{14} = \frac{-20}{14} = -\frac{10}{7}.$$

Ответ для части а:

$$\boxed{\left( \frac{27}{14}, -\frac{10}{7} \right)}$$

б) $2x + y = 4$ и $7x — 2y = 3$

1. Перепишем уравнения в виде $y = f(x)$:

• Для первого уравнения $2x + y = 4$ преобразуем его в вид $y = f(x)$:

  $$2x + y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4 — 2x.$$

  Теперь у нас есть выражение для $y$ через $x$: $y = 4 — 2x$.

• Для второго уравнения $7x — 2y = 3$ преобразуем в вид $y = f(x)$:

  $$7x — 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad 2y = 7x — 3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}.$$

  Теперь у нас есть выражение для $y$ через $x$: $y = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}$.

2. Составим таблицы значений:

Теперь подставим различные значения $x$ в оба уравнения и найдём соответствующие значения $y$.

Для уравнения $y = 4 — 2x$:

Для уравнения $y = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}$:

3. Найдем координаты точки пересечения:

Теперь решим систему уравнений:

$$4 — 2x = \frac{7}{2}x — \frac{3}{2}.$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$4 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}x + 2x.$$

Объединяем $x$-слагаемые:

$$\frac{8}{2} + \frac{3}{2} = \left( \frac{7}{2} + \frac{4}{2} \right)x$$

$$\frac{11}{2} = \frac{11}{2}x.$$

Решаем для $x$:

$$x = 1.$$

Подставляем $x = 1$ в одно из уравнений, например $y = 4 — 2x$:

$$y = 4 — 2 \cdot 1 = 4 — 2 = 2.$$

Ответ для части б:

$$\boxed{{\displaystyle (1;2)}}$$