ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 575 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выразите из уравнения 5x-2y=15 переменную y через x и найдите какие-нибудь три решения этого уравнения. Затем выразите x через y и найдите еще два его решения.

5x — 2y = 15
2y = 5x — 15
y = $\frac{5x-15}{2}$;

при x = 1,
y = $\frac{5\cdot 1-15}{2}=-5$;

при x = 3,
y = $\frac{5\cdot 3-15}{2}=0$;

при x = -1,
y = $\frac{5\cdot (-1)-15}{2}=-10$.

5x = 15 + 2y
x = $\frac{15+2y}{5}$;

при y = 0,
x = $\frac{15+2\cdot 0}{5}=3$;

при y = 7,
x = $\frac{15+2\cdot 7}{5}=\mathrm{5,8}$.

Рассмотрим уравнение $5x — 2y = 15$.

Чтобы выразить $y$ через$x$ x, перенесём все члены, содержащие $y$, в одну сторону, а остальные — в противоположную, сохраняя равенство. Переносом члена $-2y$ в правую часть получаем эквивалентное уравнение $5x-15=2$. Это действие эквивалентно исходному, потому что мы прибавили к обеим частям уравнения $15$ и одновременно изменили знак перенесённого слагаемого.

Теперь, чтобы изолировать $y$, разделим обе части равенства на коэффициент при $y$, то есть на $2$. Деление обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, поэтому получаем $y = \dfrac{5x — 15}{2}$. Это выражение показывает линейную зависимость $y$ от $x$: числитель $5x — 15$ — линейная функция от $x$, а деление на $2$ масштабирует её. Можно также вынести общий множитель в числителе: $y = \dfrac{5(x — 3)}{2}$​.

В этом виде видно, что при $x = 3$ числитель равен нулю, и поэтому $y = 0$.

Подставим конкретные значения $x$ и подробно выполним все арифметические операции по порядку.

При $x = 1$:

Сначала вычисляем произведение

$5 \cdot 1 = 5$

Затем вычитаем $15$:

$5 — 15 = -10$

Подставляем в дробь и делим:

$y = \dfrac{-10}{2} = -5$

Пояснение по порядку операций: умножение выполняется перед вычитанием, затем результат делится на знаменатель; каждый шаг математически эквивалентен предыдущему, поэтому полученное значение верно.

При $x = 3$:

Сначала

$5 \cdot 3 = 15$

Затем

$15 — 15 = 0$

Подстановка даёт

$y = \dfrac{0}{2} = 0$

Пояснение: если числитель дроби равен нулю, то дробь равна нулю при любом ненулевом знаменателе; здесь знаменатель $2$ ненулевой, следовательно $y = 0$.

При $x = -1$:

Сначала

$5 \cdot (-1) = -5$

Затем

$-5 — 15 = -20$

Деление даёт

$y = \dfrac{-20}{2} = -10$

Важно правильно учитывать знак при умножении и при последующем вычитании: умножение дает отрицательное число, затем к нему прибавляется отрицательное $-15$ (то есть вычитается 15), итог — более отрицательное число.

Перейдём к выражению $x$ через $y$. Исходное уравнение можно переставить так, чтобы левую часть составлял член с $x$. Переносим $-2y$ в правую часть и получаем $5x=15+2$. Это эквивалентное преобразование: мы прибавили $2y$ к обеим частям или, что то же, перенесли $-2y$ вправо, поменяв знак.

Делим обе части на коэффициент при $x$, то есть на $5$, получаем выражение

$x = \dfrac{15 + 2y}{5}$

Это показывает, как $x$ линейно зависит от $y$. Можно также разделить сумму на $5$ по слагаемым:

$x = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2y}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}y$

В этом виде видно, что при $y=0$ имеем $x=3$, а при изменении у $y$$x$ меняется на $\dfrac{2}{5}$​ от изменения $y$.

Подставим заданные значения $y$ и подробно выполним операции.

При $y = 0$:

В числителе

$15 + 2\cdot 0 = 15 + 0 = 15$

Делим на $5$:

$x={\displaystyle \frac{15}{5}}$

Пояснение: умножение на ноль даёт ноль, поэтому выражение упрощается до дроби ${\displaystyle \frac{15}{5}}$, которую можно сократить на общий делитель $5$.

При $y = 7$:

Сначала вычисляем

$2 \cdot 7 = 14$

Складываем:

$15 + 14 = 29$

Подставляем в дробь:

$x = \dfrac{29}{5}$

Для получения десятичного представления делим $29$ на $5$: при делении $29 : 5$ целая часть равна $5$ (потому что $5 \cdot 5 = 25$), остаток $29 — 25 = 4$.

Остаток в виде дроби даёт $\dfrac{4}{5}$.

Переводим дробь в десятичную: $\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.

Следовательно, $x = 5 + 0{,}8 = 5{,}8$