ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 57 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $\frac{4}{x} + \frac{20}{x^2 — 5x}$; $x = -19$;
б) $\frac{n^2}{mn — m^2} — \frac{m}{n — m}$; $m = -0,5$; $n = 2,5$;
в) $\frac{a}{a-c} — \frac{2ac — c^2}{a^2 — ac}$; $a = -100$; $c = -85$;
г) $\frac{y^2 + 4}{y^2 — 2y} — \frac{2}{y-2}$; $y = \frac{1}{6}$;
д) $\frac{2}{a^2 + ab} + \frac{2}{b^2 + ab}$; $a = 0,25$; $b = 4$;
е) $\frac{1}{xy — x^2} — \frac{1}{y^2 — xy}$; $x = -0,17$; $y = 100$.

а) при $x=-19$:

$$\frac{4}{x}+\frac{20}{x^2-5x}=\frac{4}{x}+\frac{20}{x(x-5)}=\frac{4(x-5)+20}{x(x-5)}=\frac{4x-20+20}{x(x-5)}=$$

$$\frac{4x}{x(x-5)}=\frac{4}{x-5}=\frac{4}{-19-5}=\frac{4}{-24}=-\frac{1}{6}\mathrm{}$$

б) при $m=-0.5$; $n=2.5$:

$$\frac{n^2}{mn-m^2}-\frac{m}{n-m}=\frac{n^2}{m(n-m)}-\frac{m}{n-m}=\frac{n^2-m^2}{m(n-m)}=\frac{(n-m)(n+m)}{m(n-m)}=$$

$$\frac{n+m}{m}=\frac{-0.5+2.5}{-0.5}=\frac{2}{-0.5}=-4$$

в) при $a=-100$; $c=-85$:

$$\frac{a}{a-c}-\frac{2ac-c^2}{a^2-ac}=\frac{a}{a-c}-\frac{2ac-c^2}{a(a-c)}=\frac{a^2-2ac+c^2}{a(a-c)}=\frac{(a-c{)}^2}{a(a-c)}=\frac{a-c}{a}=$$

$$\frac{-100-(-85)}{-100}=\frac{-100+85}{-100}=\frac{-15}{-100}=0.15$$

г) при $y=\frac{1}{6}$; (в учебнике опечатка, должна быть дробь $\frac{4}{y-2}$):

$$\frac{y^2+4}{y^2-2y}-\frac{4}{y-2}=\frac{y^2+4}{y(y-2)}-\frac{4}{y-2}=\frac{y^2+4-4y}{y(y-2)}=\frac{(y-2{)}^2}{y(y-2)}=$$

$$\frac{y-2}{y}=\frac{\frac{1}{6}-2}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{6}-\frac{12}{6}}{\frac{1}{6}}=\frac{-\frac{11}{6}}{\frac{1}{6}}=-11$$

д) при $a=0.25$; $b=4$:

$$\frac{2}{a^2+ab}+\frac{2}{b^2+ab}=\frac{2}{a(a+b)}+\frac{2}{b(b+a)}=\frac{2b+2a}{ab(a+b)}=$$

$$\frac{2(a+b)}{ab}=\frac{2}{0.25\cdot 4}=\frac{2}{1}=2$$

е) при $x=-0.17$; $y=100$:

$$\frac{1}{xy-x^2}-\frac{4}{y^2-xy}=\frac{1}{x(y-x)}-\frac{1}{y(y-x)}=\frac{y-x}{xy(y-x)}=\frac{1}{xy}=$$

$$\frac{1}{-0.17\cdot 100}=\frac{1}{-17}=-\frac{1}{17}$$

а) при $x=-19$:

$$\frac{4}{x}+\frac{20}{x^2-5x}$$

Шаг 1. Знаменатель второй дроби раскладываем:

$$x^2-5x=x(x-5)$$

Шаг 2. Приводим обе дроби к общему знаменателю $x(x-5)$:

$$\frac{4}{x}=\frac{4(x-5)}{x(x-5)}$$

Вторая дробь уже с нужным знаменателем:

$$\frac{20}{x(x-5)}$$

Шаг 3. Складываем числители:

$$4(x-5)+20=4x-20+20=4x$$

Шаг 4. Записываем сумму дробей:

$$\frac{4x}{x(x-5)}=\frac{4}{x-5}$$

Шаг 5. Подставляем $x=-19$:

$$\frac{4}{-19-5}=\frac{4}{-24}=-\frac{1}{6}$$

б) при $m=-0.5$; $n=2.5$:

$$\frac{n^2}{mn-m^2}-\frac{m}{n-m}$$

Шаг 1. Знаменатель первой дроби раскладываем:

$$mn-m^2=m(n-m)$$

Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю $m(n-m)$:

$$\frac{n^2}{m(n-m)}-\frac{m}{n-m}=\frac{n^2}{m(n-m)}-\frac{m\cdot m}{m(n-m)}=\frac{n^2-m^2}{m(n-m)}$$

Шаг 3. Числитель раскладываем:

$$n^2-m^2=(n-m)(n+m)$$

Шаг 4. Сокращаем общий множитель $n-m$:

$$\frac{(n-m)(n+m)}{m(n-m)}=\frac{n+m}{m}$$

Шаг 5. Подставляем значения:

$$\frac{2.5-0.5}{-0.5}=\frac{2}{-0.5}=-4$$

в) при $a=-100$; $c=-85$:

$$\frac{a}{a-c}-\frac{2ac-c^2}{a^2-ac}$$

Шаг 1. Знаменатель второй дроби раскладываем:

$$a^2-ac=a(a-c)$$

Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю $a(a-c)$:

$$\frac{a}{a-c}=\frac{a\cdot a}{a(a-c)}=\frac{a^2}{a(a-c)}$$

Шаг 3. Выполняем вычитание дробей:

$$\frac{a^2}{a(a-c)}-\frac{2ac-c^2}{a(a-c)}=\frac{a^2-(2ac-c^2)}{a(a-c)}=\frac{a^2-2ac+c^2}{a(a-c)}$$

Шаг 4. Числитель распознаём как полный квадрат:

$$(a-c{)}^2$$

Шаг 5. Сокращаем общий множитель $a-c$:

$$\frac{(a-c{)}^2}{a(a-c)}=\frac{a-c}{a}$$

Шаг 6. Подставляем значения:

$$\frac{-100-(-85)}{-100}=\frac{-100+85}{-100}=\frac{-15}{-100}=0.15$$

г) при $y=\frac{1}{6}$:

(В учебнике опечатка, должна быть дробь $\frac{4}{y-2}$).

$$\frac{y^2+4}{y^2-2y}-\frac{4}{y-2}$$

Шаг 1. Знаменатель первой дроби раскладываем:

$$y^2-2y=y(y-2)$$

Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю $y(y-2)$:

$$\frac{y^2+4}{y(y-2)}-\frac{4y}{y(y-2)}=\frac{y^2+4-4y}{y(y-2)}$$

Шаг 3. Распознаём числитель как полный квадрат:

$$y^2-4y+4=(y-2{)}^2$$

Шаг 4. Записываем дробь:

$$\frac{(y-2{)}^2}{y(y-2)}=\frac{y-2}{y}$$

Шаг 5. Подставляем $y=\frac{1}{6}$:

$$\frac{\frac{1}{6}-2}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{6}-\frac{12}{6}}{\frac{1}{6}}=\frac{-\frac{11}{6}}{\frac{1}{6}}=-11$$

д) при $a=0.25$; $b=4$:

$$\frac{2}{a^2+ab}+\frac{2}{b^2+ab}$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель в знаменателях:

$$a^2+ab=a(a+b),b^2+ab=b(b+a)$$

Шаг 2. Общий знаменатель — $ab(a+b)$.

Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2b}{ab(a+b)}+\frac{2a}{ab(a+b)}=\frac{2b+2a}{ab(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab(a+b)}$$

Шаг 4. Сокращаем $a+b$:

$$\frac{2}{ab}$$

Шаг 5. Подставляем значения:

$$\frac{2}{0.25\times 4}=\frac{2}{1}=2$$

е) при $x=-0.17$; $y=100$:

$$\frac{1}{xy-x^2}-\frac{4}{y^2-xy}$$

Шаг 1. Запишем знаменатели через разности:

$$xy-x^2=x(y-x)$$$$y^2-xy=y(y-x)$$

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю $xy(y-x)$:

$$\frac{1\cdot y}{xy(y-x)}-\frac{4\cdot x}{xy(y-x)}=\frac{y-4x}{xy(y-x)}$$

Шаг 3. Проверим числитель:

$$y-4x$$

(В исходном тексте дроби записаны иначе, но следуя именно им:)

Шаг 4. Однако по условию исходный текст даёт:

$$\frac{1}{x(y-x)}-\frac{1}{y(y-x)}=\frac{y-x}{xy(y-x)}=\frac{1}{xy}$$

Шаг 5. Подставляем значения:

$$\frac{1}{-0.17\times 100}=\frac{1}{-17}=-\frac{1}{17}$$