ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 567 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) $\tfrac{3a}{a^3-1}-\tfrac{3}{a^2+a+1}-\tfrac{1}{a-1}$;
б) $\tfrac{2}{a+2}-\tfrac{6}{a^2-2a+4}-\tfrac{24}{a^3+8}$.

а)

$$\frac{3a}{a^3-1}-\frac{3}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}$$

$$=\frac{3a}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{3}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}$$

$$=\frac{3a-3(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

$$=\frac{3a-3a+3-a^2-a-1}{a^3-1}$$

$$=\frac{-a^2-a+2}{a^3-1}$$

$$=\frac{(a+2)(a-1)}{(1-a)(1+a+a^2)}$$

$$=-\frac{a+2}{1+a+a^2}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{2}{a+2}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{24}{a^3+8}$$

$$=\frac{2}{a+2}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{24}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

$$=\frac{2(a^2-2a+4)-6(a+2)-24}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

$$=\frac{2a^2-4a+8-6a-12-24}{a^3+8}$$

$$=\frac{2a^2-10a-28}{a^3+8}$$

$$=\frac{2(a^2-5a-14)}{a^3+8}$$

$$=\frac{2(a-7)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$$$=\frac{2a-14}{a^2-2a+4}\mathrm{.}$$

а) Рассмотрим выражение:

$$\frac{3a}{a^3-1}-\frac{3}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}$$

Разложим знаменатель первой дроби:

$$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$$

Теперь перепишем всё выражение с общим знаменателем:

$$=\frac{3a}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{3(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Объединим числители:

$$=\frac{3a-3(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3a-3a+3-a^2-a-1=-a^2-a+2$$

Итак, получаем:

$$=\frac{-a^2-a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Теперь преобразуем числитель:

$$-a^2-a+2=-(a^2+a-2)=-(a+2)(a-1)$$

Тогда:

$$=\frac{-(a+2)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Сокращаем на $a-1$:

$$=\frac{-(a+2)}{a^2+a+1}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{a+2}{a^2+a+1}}}$$

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{2}{a+2}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{24}{a^3+8}$$

Заметим, что:

$$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)$$

Общий знаменатель: $(a+2)(a^2-2a+4)$

Перепишем все дроби с этим знаменателем:

• первую домножим на $a^2-2a+4$
• вторую — на $a+2$
• третья уже имеет нужный знаменатель

$$=\frac{2(a^2-2a+4)-6(a+2)-24}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2a^2-4a+8-6a-12-24=2a^2-10a-28$$

Итак:

$$=\frac{2a^2-10a-28}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

Вынесем 2 за скобки:

$$=\frac{2(a^2-5a-14)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

Разложим числитель:

$$a^2-5a-14=(a-7)(a+2)$$$$=\frac{2(a-7)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$

Сократим на $a+2$:

$$=\frac{2(a-7)}{a^2-2a+4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2a-14}{a^2-2a+4}}}$$