ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 566 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) $\frac{a+2}{a-5} — \frac{3a}{a^2 — 7a + 10} — \frac{2}{a-2} = \frac{3-a}{5-a}$;
б) $1 + \frac{a-4}{a-3} — \frac{a}{a+4} — \frac{7a}{a^2 + a — 12} = \frac{a-7}{a-3}$.

а) $\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{a^2-7a+10}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$.

Заметим, что $a^2-7a+10=(a-5)(a-2)$. Тогда выражение примет вид:
$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{(a-5)(a-2)}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$.

Приведём к общему знаменателю $(a-5)(a-2)$:
$\frac{(a+2)(a-2)-3a-(a-5)\cdot2}{(a-5)(a-2)}=\frac{3-a}{5-a}$.

Раскроем скобки в числителе:
$(a+2)(a-2)=a^2-4$.
Тогда числитель: $a^2-4-3a-2a+10=a^2-5a+6$.

Разложим: $a^2-5a+6=(a-2)(a-3)$.

Подставим: $\frac{(a-2)(a-3)}{(a-5)(a-2)}=\frac{a-3}{a-5}$.

Учитывая, что $\frac{a-3}{a-5}=\frac{3-a}{5-a}$, равенство доказано.

б) $1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{a^2+a-12}=\frac{a-7}{a-3}$.

Разложим знаменатель: $a^2+a-12=(a+4)(a-3)$.

Тогда выражение примет вид:
$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}$.

Приведём к общему знаменателю $(a+4)(a-3)$. Для этого каждое слагаемое домножаем:
$\frac{(a+4)(a-3)+(a-4)(a+4)-a(a-3)-7a}{(a+4)(a-3)}$.

Раскроем скобки:
$(a+4)(a-3)=a^2+a-12$,
$(a-4)(a+4)=a^2-16$,
$-a(a-3)=-a^2+3a$.

Суммируем: $a^2+a-12+a^2-16-a^2+3a-7a=a^2-3a-28$.

Разложим: $a^2-3a-28=(a-7)(a+4)$.

Таким образом: $\frac{(a-7)(a+4)}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}$.

Равенство доказано.

а) Рассмотрим выражение:
$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{a^2-7a+10}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$.

Шаг 1. Разложим знаменатель:
$a^2-7a+10=(a-5)(a-2)$. Проверка: $a_1+a_2=7,\; a_1a_2=10$. Подходят числа $5$ и $2$.

Шаг 2. Приведём к общему знаменателю $(a-5)(a-2)$:
$\frac{(a+2)(a-2)}{(a-5)(a-2)}-\frac{3a}{(a-5)(a-2)}-\frac{2(a-5)}{(a-2)(a-5)}$.

Шаг 3. Объединяем числитель:
$(a+2)(a-2)-3a-2(a-5)$.
Вычислим: $(a+2)(a-2)=a^2-4$. Далее $-3a$. Ещё $-2(a-5)=-2a+10$.
Общий числитель: $a^2-4-3a-2a+10=a^2-5a+6$.

Шаг 4. Разложим числитель:
$a^2-5a+6=(a-2)(a-3)$.

Подставляем: $\frac{(a-2)(a-3)}{(a-5)(a-2)}=\frac{a-3}{a-5}$.

Так как $\frac{a-3}{a-5}=\frac{3-a}{5-a}$, равенство доказано.

б) Рассмотрим выражение:
$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{a^2+a-12}=\frac{a-7}{a-3}$.

Шаг 1. Разложим знаменатель:
$a^2+a-12=(a+4)(a-3)$. Проверка: $(-4)\cdot3=-12,\; -4+3=-1$. Подходит.

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю $(a+4)(a-3)$:
$\frac{(a+4)(a-3)}{(a+4)(a-3)}+\frac{(a-4)(a+4)}{(a+4)(a-3)}-\frac{a(a-3)}{(a+4)(a-3)}-\frac{7a}{(a+4)(a-3)}$.

Шаг 3. Объединяем числитель:
$(a+4)(a-3)+(a-4)(a+4)-a(a-3)-7a$.
Раскроем скобки:
$(a+4)(a-3)=a^2+a-12$.
$(a-4)(a+4)=a^2-16$.
$-a(a-3)=-a^2+3a$.
И остаётся $-7a$.
Собираем: $a^2+a-12+a^2-16-a^2+3a-7a=a^2-3a-28$.

Шаг 4. Разложим числитель:
$a^2-3a-28=(a-7)(a+4)$.

Подставим: $\frac{(a-7)(a+4)}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}$.

Сокращаем и получаем верное равенство.