ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 565 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Напишите два различных квадратных трёхчлена, имеющих одинаковые корни:
а) $-4$ и $5$;
б) $-2$ и $-\tfrac{1}{3}$;
в) $\tfrac{3}{2}$ и $\tfrac{2}{3}$.

а) $x=-4$ и $x=5$;
$(x+4)(x-5)=x^2-5x+4x-20=x^2-x-20$.
Квадратный трехчлен $2x^2-2x-40$ будет иметь такие же корни.

б) $x=-2$ и $x=-\frac{1}{3}$;
$(x+2)(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x+2x+\frac{2}{3}=x^2+2\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$.
Квадратный трехчлен $3x^2+7x+2$ будет иметь такие же корни.

в) $x=1\frac{1}{2}$ и $x=\frac{2}{3}$;
$(x-1\frac{1}{2})(x-\frac{2}{3})=(x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})=x^2-\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}x+1=$
$=x^2-\frac{4+9}{6}x+1=x^2-\frac{13}{6}x+1$.
Квадратный трехчлен $12x^2-13\cdot 2x+12=12x^2-26x+12$ будет иметь такие же корни.

а) $x=-4$ и $x=5$

Шаг 1. Запишем квадратный трёхчлен с заданными корнями по формуле:

$$(x-x_1)(x-x_2)=(x+4)(x-5)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(x+4)(x-5)=x^2-5x+4x-20=x^2-x-20$$

Шаг 3. Умножим трёхчлен на число, чтобы получить другой трёхчлен с теми же корнями:

$$2(x^2-x-20)=2x^2-2x-40$$

Ответ: трёхчлен $2x^2-2x-40$ имеет корни $-4$ и $5$

б) $x=-2$ и $x=-\frac{1}{3}$

Шаг 1. Запишем произведение:

$$(x+2)(x+\frac{1}{3})$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$x\cdot x+x\cdot \frac{1}{3}+2\cdot x+2\cdot \frac{1}{3}=x^2+\frac{1}{3}x+2x+\frac{2}{3}$$

Шаг 3. Приведём подобные слагаемые:

$$x^2+(2+\frac{1}{3})x+\frac{2}{3}=x^2+\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}$$

Шаг 4. Избавимся от дробей, умножив на 3:

$$3x^2+7x+2$$

Ответ: трёхчлен $3x^2+7x+2$ имеет корни $-2$ и $-\frac{1}{3}$

в) $x=1\frac{1}{2}$ и $x=\frac{2}{3}$$$

Шаг 1. Преобразуем корни в неправильные дроби:

$$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\frac{2}{3}$$

Шаг 2. Запишем произведение:

$$(x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Посчитаем произведение:

$$\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$$

Шаг 5. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$-\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}x=-(\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x)=-\frac{13}{6}x$$

Итоговый трёхчлен:

$$x^2-\frac{13}{6}x+1$$

Шаг 6. Избавимся от дробей, умножив на 6:

$$6x^2-13x+6$$

Шаг 7. Умножим ещё на 2 для получения трёхчлена, как в тексте:

$$12x^2-26x+12$$

Ответ: трёхчлен $12x^2-26x+12$ имеет корни $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ (то есть $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$)