ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 564 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дано уравнение $x^2-39x+324=0$. Не вычисляя корни $x_1$ и $x_2$, найдите:
$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2;x_1^2+x_2^2;(x_1-x_2{)}^2+4x_1{x}_2;x_1^3+x_2^3$.

$$x^2-39x+324=0,$$

$$$$$$x_1{x}_2=324,x_1+x_2=39.$$

$1)\; (x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2={39}^2-2\cdot 324=1521-648=873.$

${\mathrm{2)\; x}}_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2={39}^2-2\cdot 324=873.$$$

$3)\; (x_1-x_2{)}^2+4x_1{x}_2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2+4x_1{x}_2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2=$

$(x_1+x_2{)}^2={39}^2=1521.$${}_{}^{}$

${\mathrm{4)\; x}}_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=39\cdot (x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-3x_1{x}_2)=$

Дано квадратное уравнение:

$$x^2-39x+324=0$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=39,x_1{x}_2=324$$

1) Найдём значение выражения $(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$

Формула:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$$

Подставим значения:

$$(x_1+x_2{)}^2={39}^2=1521,2x_1{x}_2=2\cdot 324=648$$

Вычитаем:

$$1521-648=873$$

Ответ: $873$

2) Найдём значение $x_1^2+x_2^2$

Используем ту же формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$$

Подставим:

$$x_1^2+x_2^2=1521-648=873$$

Ответ: $873$

3) Найдём значение $(x_1-x_2{)}^2+4x_1{x}_2$

Сначала упростим выражение:

$$(x_1-x_2{)}^2+4x_1{x}_2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2+4x_1{x}_2=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2$$

А это:

$$(x_1+x_2{)}^2$$

Поскольку:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2\Rightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2$$

Подставим:

$$(x_1+x_2{)}^2={39}^2=1521$$

Ответ: $1521$

4) Найдём значение $x_1^3+x_2^3$

Формула суммы кубов:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)$$

Ранее мы находили:

$$x_1^2+x_2^2=873,x_1{x}_2=324$$

Следовательно:

$$x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=873-324=549$$

Теперь:

$$x_1^3+x_2^3=39\cdot 549$$

Посчитаем:

$$39\cdot 549=(40-1)\cdot 549=40\cdot 549-1\cdot 549=21960-549=21411$$

Ответ: $21411$