ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 560 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В Третьяковской галерее находится картина художника Богданова-Бельского «Устный счёт». На школьной доске записано выражение $(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365$. В числителе стоит сумма квадратов пяти последовательных чисел. Ученики могут вычислить это выражение устно, если заметят, что сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних. Возникает вопрос: существуют ли ещё пять последовательных целых чисел, для которых выполняется такое же свойство?

Цитирование задания со ссылкой на учебник приведено исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения.

$$\frac{{10}^2+{11}^2+{12}^2+{13}^2+{14}^2}{365}=\frac{100+121+144+169+196}{365}=$$$$=\frac{365+365}{365}=\frac{{365}^2}{365}=365.$$

Пусть даны числа: $n-1$; $n$; $n+1$; $n+2$; $n+3$.

Составим уравнение:

$$(n-1{)}^2+n^2+(n+1{)}^2=(n+2{)}^2+(n+3{)}^2$$

$$$$$$n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4+n^2+6n+9$$

$$$$$$3n^2+2=2n^2+10n+13$$

$$$$$$3n^2-2n^2-10n+2-13=0$$

$$$$$$n^2-10n-11=0$$

$$$$$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-11)=100+44=144\Rightarrow \sqrt{D}=12$$

$$$$$$n_1=\frac{-(-10)-12}{2}=\frac{10-12}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{— второе число;}$$

$$$$$$n_2=\frac{-(-10)+12}{2}=\frac{10+12}{2}=\frac{22}{2}=11\text{— выше.}$$

Тогда, подходят еще числа:

$$-2;-1;0;1;2.$$

Ответ: $-2;-1;0;1;2$.

Часть 1. Проверка выражения:

Рассмотрим дробь:

$$\frac{{10}^2+{11}^2+{12}^2+{13}^2+{14}^2}{365}$$

Посчитаем числитель по действиям:

• ${10}^2=100$
• ${11}^2=121$
• ${12}^2=144$
• ${13}^2=169$
• ${14}^2=196$

Сложим:

$$100+121=221,221+144=365,365+169=534,534+196=730$$

Числитель: $730$

Знаменатель: $365$

Выполним деление:

$$\frac{730}{365}=2$$

Следовательно:

$$\frac{{10}^2+{11}^2+{12}^2+{13}^2+{14}^2}{365}=2$$

Значит строка:

$$=\frac{365+365}{365}=\frac{{365}^2}{365}=365$$

неверна (ошибка в логике и арифметике). Правильное значение — 2.

Часть 2. Решение уравнения с переменной $n$:

Дано 5 последовательных числа:

$$n-1,n,n+1,n+2,n+3$$

Составим уравнение: сумма квадратов первых трёх равна сумме квадратов двух последних:

$$(n-1{)}^2+n^2+(n+1{)}^2=(n+2{)}^2+(n+3{)}^2$$

Раскроем скобки:

Левая часть:

$$(n-1{)}^2=n^2-2n+1,n^2=n^2,(n+1{)}^2=n^2+2n+1$$

Сложим:

$$n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=3n^2+2$$

Правая часть:

$$(n+2{)}^2=n^2+4n+4,(n+3{)}^2=n^2+6n+9$$

Сложим:

$$n^2+4n+4+n^2+6n+9=2n^2+10n+13$$

Составим уравнение:

$$3n^2+2=2n^2+10n+13$$

Переносим все в одну часть:

$$3n^2-2n^2-10n+2-13=0$$

$$$$$$n^2-10n-11=0$$

Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-11)=100+44=144\Rightarrow \sqrt{D}=12$$

Находим корни:

$$n_1=\frac{-(-10)-12}{2}=\frac{10-12}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$$$$$n_2=\frac{-(-10)+12}{2}=\frac{10+12}{2}=\frac{22}{2}=11$$

Подставим $n=-1$:

Тогда 5 чисел:

$$-2,-1,0,1,2$$

Считаем:

$$(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2=4+1+0=5$$

$$$$$$1^2+2^2=1+4=5$$

Равенство верно.

Ответ:
$-2;-1;0;1;2$ — эти числа удовлетворяют условию.