ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 556 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x — 6\sqrt{x} + 5 = 0$;
б) $3x — 10\sqrt{x} + 3 = 0$;
в) $5x — 6\sqrt{x} + 1 = 0$;
г) $2x + 3\sqrt{x} — 2 = 0$.

а) $x-6\sqrt{x}+5=0$

Замена: $\sqrt{x}=y$;

$$y^2-6y+5=0$$

$$$$$$D=9-5=4$$

$$$$$$y_1{y}_2=5,y_1+y_2=6$$

$$$$$$y_1=5,y_2=1$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=5,\sqrt{x}=1$$

$$$$$$x=25,x=1$$

Ответ: $x=1$; $x=25$.

б) $3x-10\sqrt{x}+3=0$

Замена: $\sqrt{x}=y$;

$$3y^2-10y+3=0$$

$$$$$$D=25-3\cdot 3=16=\sqrt{16}=4$$

$$$$$$y_1=\frac{5-4}{3}=\frac{1}{3},y_2=\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}=3$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{3},\sqrt{x}=3$$

$$$$$$x=\frac{1}{9},x=9$$

Ответ: $x=\frac{1}{9}$; $x=9$.

в) $5x-6\sqrt{x}+1=0$

Замена: $\sqrt{x}=y$;

$$5y^2-6y+1=0$$

$$$$$$D=9-5=4=\sqrt{4}=2$$

$$$$$$y_1=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5},y_2=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{5},\sqrt{x}=1$$$$x=\frac{1}{25},x=1$$

Ответ: $x=\frac{1}{25}$; $x=1$.

г) $2x+3\sqrt{x}-2=0$

Замена: $\sqrt{x}=y$;

$$2y^2+3y-2=0$$

$$$$$$D=9+4\cdot 2\cdot 2=25=\sqrt{25}=5$$

$$$$$$y_1=\frac{-3-5}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2,y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=-2\text{— корней нет};$$$$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$$$x=\frac{1}{4}$$

Ответ: $x=\frac{1}{4}$.

а) $x-6\sqrt{x}+5=0$

Шаг 1: Замена переменной
Мы видим, что у нас есть выражение с квадратным корнем. Для упрощения введем замену:

$$\sqrt{x}=y$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2-6y+5=0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1=\frac{-(-6)-\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=1$$

$$$$$$y_2=\frac{-(-6)+\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{6+4}{2}=5$$

Шаг 3: Подстановка назад
Теперь, когда мы нашли $y_1$ и $y_2$, подставляем их обратно в $\sqrt{x}=y$:

$$\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1^2=1$$$$\sqrt{x}=5\Rightarrow x=5^2=25$$

Ответ:

$$x=1,x=25$$

б) $3x-10\sqrt{x}+3=0$

Шаг 1: Замена переменной
Опять-таки, для удобства сделаем замену $\sqrt{x}=y$. Уравнение примет вид:

$$3y^2-10y+3=0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-10)-\sqrt{D}}{2\cdot 3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

$$$$$$y_2=\frac{-(-10)+\sqrt{D}}{2\cdot 3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Шаг 3: Подстановка назад
Подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x}=y$:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow x={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$$

$$$$$$\sqrt{x}=3\Rightarrow x=3^2=9$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{9},x=9$$

в) $5x-6\sqrt{x}+1=0$

Шаг 1: Замена переменной
Делаем замену $\sqrt{x}=y$, тогда уравнение преобразуется в:

$$5y^2-6y+1=0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-6)-\sqrt{D}}{2\cdot 5}=\frac{6-4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$

$$$$$$y_2=\frac{-(-6)+\sqrt{D}}{2\cdot 5}=\frac{6+4}{10}=\frac{10}{10}=1$$

Шаг 3: Подстановка назад
Теперь подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x}=y$:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{5}\Rightarrow x={\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{25}$$

$$$$$$\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1^2=1$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{25},x=1$$

г) $2x+3\sqrt{x}-2=0$

Шаг 1: Замена переменной
Делаем замену $\sqrt{x}=y$, уравнение принимает вид:

$$2y^2+3y-2=0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$$

Извлекаем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{25}=5$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-3-5}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2$$

$$$$$$y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Подстановка назад
Подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x}=y$:

$$\sqrt{x}=-2\Rightarrow \text{корней нет (так как }\sqrt{x}\text{ не может быть отрицательным)}\mathrm{.}$$$$\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x=\frac{1}{4}$$